基础知识1(2018.09.27)

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由于是在自学机器学习过程中随手写的，所以比较乱，就是看到那个知识点不会就写下来。

满秩矩阵

设A是n阶矩阵, 若r（A） = n, 则称A为满秩矩阵。但满秩不局限于n阶矩阵。

若矩阵秩等于行数，称为行满秩；若矩阵秩等于列数，称为列满秩。既是行满秩又是列满秩则为n阶矩阵即n阶方阵。行满秩矩阵就是行向量线性无关，列满秩矩阵就是列向量线性无关；所以如果是方阵,行满秩矩阵与列满秩矩阵是等价的。

协方差和协方差矩阵

协方差

通常，在提到协方差的时候，需要对其进一步区分。（1）随机变量的协方差。跟数学期望、方差一样，是分布的一个总体参数。（2）样本的协方差。是样本集的一个统计量，可作为联合分布总体参数的一个估计。在实际中计算的通常是样本的协方差。

随机变量的协方差

在概率论和统计中，协方差是对两个随机变量联合分布线性相关程度的一种度量。两个随机变量越线性相关，协方差越大，完全线性无关，协方差为零。定义如下。
$cov(X,Y)=E[(X−E[X])(Y−E[Y])]$

当X，Y是同一个随机变量时，X与其自身的协方差就是X的方差，可以说方差是协方差的一个特例。
$cov(X,X)=E[(X−E[X])(X−E[X])]$

或
$var(X)=cov(X,X)=E[(X−E[X])2]$

由于随机变量的取值范围不同，两个协方差不具备可比性。如 $X，Y，Z$分别是三个随机变量，想要比较X与Y的线性相关程度强，还是X与Z的线性相关程度强，通过 $cov(X,Y)$与 $cov(X,Z)$无法直接比较。定义相关系数η为
$η=\frac{cov(X,Y)}{\sqrt(var(X)⋅var(Y))}$

通过X的方差 $var(X)$与 $Y$的方差 $var(Y)$对协方差 $cov(X,Y)$归一化，得到相关系数 $η，η$的取值范围是[−1,1]。1表示完全线性相关，−1表示完全线性负相关，0表示线性无关。线性无关并不代表完全无关，更不代表相互独立。

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样本的协方差

在实际中，通常我们手头会有一些样本，样本有多个属性，每个样本可以看成一个多维随机变量的样本点，我们需要分析两个维度之间的线性关系。协方差及相关系数是度量随机变量间线性关系的参数，由于不知道具体的分布，只能通过样本来进行估计。

设样本对应的多维随机变量为 $X=[X1,X2,X3,...,Xn]^T$，样本集合为 ${x_{⋅j}=[x_{1j},x_{2j},...,x_{nj}]^T|1⩽j⩽m}$，m为样本数量。与样本方差的计算相似，a和b两个维度样本的协方差公式为，其中1⩽a⩽n，1⩽b⩽n，n为样本维度
$q_{ab}=\frac{\sum_{j=1}^{m}(x_{aj}−\bar{x}_a)(x_{bj}−\bar{x}_b)}{m−1}$

这里分母为m−1是因为随机变量的数学期望未知，以样本均值代替，自由度减一。

协方差矩阵

多维随机变量的协方差矩阵

对多维随机变量 $X=[X1,X2,X3,...,Xn]^T$，我们往往需要计算各维度两两之间的协方差，这样各协方差组成了一个n×n的矩阵，称为协方差矩阵。协方差矩阵是个对称矩阵，对角线上的元素是各维度上随机变量的方差。我们定义协方差矩阵为 $\sum$，这个符号与求和 $\sum$相同，需要根据上下文区分。矩阵内的元素 $\sum_{ij}$为

$\sum_{ij}=cov(X_i,X_j)=E[(X_i−E[X_i])(X_j−E[X_j])]$

这样这个矩阵为
$\sum=E[(X−E[X])(X−E[X])^T]$
$= \left[ \begin{matrix} cov(X_1,X_1) \quad cov(X_2,X_1)\quad ... \quad cov(X_1, X_n) \\ cov(X_2,X_1) \quad cov(X_2,X_2)\quad ... \quad cov(X_2, X_n) \\ ... \quad ...\quad ... \quad ... \\ cov(X_n,X_1) \quad cov(X_n,X_2)\quad ... \quad cov(X_n, X_n) \end{matrix} \right]$
$=\left[ \begin{matrix} E[(X_1 - E[X_1])(X_1 - E[X_1])] \quad E[(X_1 - E[X_1])(X_2 - E[X_2])] \quad ... \quad E[(X_1 - E[X_1])(X_n - E[X_n])] \\ E[(X_2 - E[X_2])(X_1 - E[X_1])] \quad E[(X_2 - E[X_2])(X_2 - E[X_2])] \quad ... \quad E[(X_2 - E[X_2])(X_n - E[X_n])] \\ ... \quad ... \quad ... \quad ... \\ E[(X_n - E[X_n])(X_n - E[X_n])] \quad E[(X_n - E[X_n])(X_2 - E[X_2])] \quad ... \quad E[(X_n - E[X_n])(X_n - E[X_n])] \end{matrix} \right]$

样本的协方差矩阵
与上面的协方差矩阵相同，只是矩阵内各元素以样本的协方差替换。样本集合为{x⋅j=[x1j,x2j,…,xnj]T|1⩽j⩽m}，m为样本数量，所有样本可以表示成一个n×m的矩阵。我们以Σ^表示样本的协方差矩阵，与Σ区分。
$\widehat{\sum}= \left[ \begin{matrix} q_{11} & q_{12} & ... & q_{1n} \\ q_{21} & q_{22} & ... & q_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ q_{n1} & q_{n2} & ... & q_{nn} \\ \end{matrix} \right]$

$=\frac{1}{m-1} \left[ \begin{matrix} \sum_{j=1}^{m} (x_{1j}-\bar{x}_1)(x_{1j}-\bar{x}_1)& \sum_{j=1}^{m} (x_{1j}-\bar{x}_1)(x_{2j}-\bar{x}_2) & ... & \sum_{j=1}^{m} (x_{1j}-\bar{x}_1)(x_{nj}-\bar{x}_n) \\ \sum_{j=1}^{m} (x_{2j}-\bar{x}_2)(x_{1j}-\bar{x}_1)& \sum_{j=1}^{m} (x_{2j}-\bar{x}_2)(x_{2j}-\bar{x}_2) & ... & \sum_{j=1}^{m} (x_{2j}-\bar{x}_2)(x_{nj}-\bar{x}_n) \\ ... & ... & ... & ... \\ \sum_{j=1}^{m} (x_{nj}-\bar{x}_n)(x_{1j}-\bar{x}_1)& \sum_{j=1}^{m} (x_{nj}-\bar{x}_n)(x_{2j}-\bar{x}_2) & ... & \sum_{j=1}^{m} (x_{nj}-\bar{x}_n)(x_{nj}-\bar{x}_n) \\ \end{matrix} \right] \\ = \frac{1}{m-1}\sum_{j=1}^{m}(\bm{x}_{.j}-\bm{\bar{x}})(\bm{x}_{.j}-\bm{\bar{x}})^T$

公式中 $m$为样本数量， $\bm{\bar{x}}$为样本的均值，是一个列向量， $\bm{x}_{.j}$为第 $j$个样本，也是一个列向量。

在写程序计算样本的协方差矩阵时，我们通常用后一种向量形式计算。一个原因是代码更紧凑清晰，另一个原因是计算机对矩阵及向量运算有大量的优化，效率高于在代码中计算每个元素。

需要注意的是，协方差矩阵是计算样本不同维度之间的协方差，而不是对不同样本计算，所以协方差矩阵的大小与维度相同。

很多时候我们只关注不同维度间的线性关系，且要求这种线性关系可以互相比较。所以，在计算协方差矩阵之前，通常会对样本进行归一化，包括两部分：

$\bm{y_{⋅j}=x_{⋅j}−\bar{x}}$。即对样本进行平移，使其重心在原点；
$\bm{z_{i⋅}=y_{i⋅}}/σ_i$。其中 $σ_i$是维度i的标准差。这样消除了数值大小的影响。

这样，协方差矩阵Σ^可以写成
$\widehat{\sum}=\frac{1}{m−1}\sum_{j=1}^mz_{⋅j}z_{⋅j}^T$

该矩阵内的元素具有可比性。

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