无线网络发射器选址 题解

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无线网络发射器选址 题解

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题目大意分析

 在一个129*129的矩阵中，每个点都有一个权值，给定一个d，让你选择一个点(x,y)，令(x-d,y-d)到(x+d,y+d)中的权值之和最大，并求出使权值之和最大的方案数有多少。

思路

暴力做法

 暴力做法是小学生水平，只需要从(1,1)到(129,129)(为了方便储存把横纵坐标都+1)枚举这个点，然后由(x-d,y-d)到(x+d,y+d)枚举求出权值之和，然后找出最大的权值之和。之后再这样枚举一次，找出有多少个点对应覆盖的区域的权值之和为这个最大值，这就是方案数。
 分析复杂度，会发现这是一个$O(n^4)$的枚举过程，显然超时。

基于暴力的优化

 考虑原来求一个子矩阵权值之和的过程，时间复杂度为$O(n^2)$，这之间有很多信息的浪费，为了提高效率，引进一个概念：

二维前缀和

 一维前缀和你肯定知道，设$sum[n]$为一维数列中$\sum_{i=1}^n{a_i}$，那么$\sum_{i=l}^r{a_i}$显然为$sum[r]-sum[l]$。
 二维前缀和也类似，设$sum[n][m]$为原二维数组中：

$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m{{a_i}_j}$$
先求解sum的递推式，观察下图。

可以看出 $sum[i][j]$由 $sum[i-1][j]$, $sum[i][j-1]$以及 $sum[i-1][j-1]$推来，递推式为 $sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+a[i][j]$
类似的，求某一个子矩阵的和如下图（画得很丑，别介意）

欲求(x1,y1)至(x2,y2)的和，就是
$$sum[x2][y2]-sum[x2][y1-1]-sum[x1-1][y2]+sum[x1-1][y1-1]$$
这样就能够在 $O(n^2)$的预处理后O(1)求出某个子矩阵的权值之和了。
代码（C++）：

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>

const int N = 137;
typedef long long ll;

int d, n, x, y, xx, yy;
ll a[N][N], sum[N][N], k, mxans = 0, mxcnt; //不开long long稳爆炸

inline int read() //读入优化
{
    int x = 0, f = 0;
    char c = getchar();
    for (; c < '0' || c > '9'; c = getchar()) if (c == '-') f = 1;
    for (; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) + c - '0';
    return f ? -x : x;
}

inline ll min(ll a, ll b) { return a < b ? a : b; } //自定义max&&min函数加速
inline ll max(ll a, ll b) { return a > b ? a : b; }

int main()
{
    d = read(), n = read();
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        x = read(), y = read(), k = read(),
        a[x + 1][y + 1] = k; //方便起见+1
    for (int i = 1; i <= 129; i++)
        for (int j = 1; j <= 129; j++)
            sum[i][j] = sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j - 1] + a[i][j]; //预处理sum数组
    for (int i = 1; i <= 129; i++)
        for (int j = 1; j <= 129; j++)
            x = max(i - d, 1), y = max(j - d, 1), //防止越界
            xx = min(i + d, 129), yy = min(j + d, 129), //防止越界
            mxans = max(mxans, sum[xx][yy] - sum[x - 1][yy] - sum[xx][y - 1] + sum[x - 1][y - 1]); //求出最大的值
    for (int i = 1; i <= 129; i++)
        for (int j = 1; j <= 129; j++)
        {
            x = max(i - d, 1), y = max(j - d, 1); //防止越界
            xx = min(i + d, 129), yy = min(j + d, 129); //防止越界
            if (sum[xx][yy] - sum[x - 1][yy] - sum[xx][y - 1] + sum[x - 1][y - 1] == mxans) mxcnt++; //如果等于最大的值就多一种方案
        }
    printf("%lld %lld\n", mxcnt, mxans);
    return 0;
}