【POJ3696】The Luckiest number

题意

给一个正整数L，L ≤2*10⁹.

至少多少个连在一起的8组成的正整数是L的倍数？

分析

随便列举一个一串8组成的数

88888=8*11111=8*99999/9=8*（10⁵-1）/9

所以k*L=8/9*(10^x-1) 

设d=gcd(L,8)

9*k*L/d=8*(10^x-1) /d

观察上面的式子，可发现9*L/d和8/d是没有公因数的

所以 9*L/d | 10^x-1，相当于求 10^xΞ1(mod 9*L/d)

根据欧拉定理的一个推论 满足a^xΞ1(mod n)的最小x一定是phi(n)的因数

证明 设phi(n)=qx+y(0<y<x) ，相当于y是余数

a^x Ξa^phi(n)Ξa^qx+yΞa^qxΞ1(mod n)

所以有 a^yΞ1(mod n)，而y<x，所以x不是满足a^xΞ1(mod n)的数，所以x不是phi(n)的因数不能成为满足该式的最小整数

最后用快速幂检验一下以10为底数， phi(9*L/d)的因子为指数的值%(9*L/d)后是不是1

乘法防止爆，用快速加代替，因子当中1也要判断

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;
#define N 1010000
#define ll long long
ll l,p,cnt,cot,cas,tmp;
ll v[N],fac[N],prime[N];

ll gcd(ll a,ll b)
{return b?gcd(b,a%b):a;}

ll ksj(ll a,ll b,ll mod)
{
    ll ret=0;
    while(b)
    {
        if(b&1)ret=(ret+a)%mod;
        a=(a+a)%mod;
        b>>=1;
    }    
    return ret;
}

ll ksm(ll a,ll b,ll mod)
{
    ll ret=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)ret=ksj(ret,a,mod);
        a=ksj(a,a,mod);
        b>>=1;
    }    
    return ret;
}

ll phi(ll n)
{
    ll ans=n;
    for(ll i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            ans=ans/i*(i-1);
            while(n%i==0)n/=i;
        }
    }
    if(n>1)ans=ans/n*(n-1);
    return ans;
}

ll factors(ll n)
{
    cot=0;p=tmp;
    for(ll i=1;i*i<=n;i++)
        if(n%i==0)
            fac[++cot]=i,fac[++cot]=n/i;
    sort(fac+1,fac+1+cot);
    for(ll i=1;i<=cot;i++)
        if(ksm(10,fac[i],p)==1)
            return fac[i];
    return 0;
}

int main()
{
    while(scanf("%lld",&l)&&l)
    {
        cas++;
        tmp=9*l/gcd(l,8);
        if(gcd(tmp,10)!=1){printf("Case %lld: 0\n",cas);continue;};
        printf("Case %lld: %lld\n",cas,factors(phi(tmp)));
    }
}