实现合式公式的递归判断，是大二离散数学老师给我们出的一道编程题，当时也是第一次接触递归，苦思冥想一段时间后写出来了，逻辑应该没多大问题，也测试过一组数据，应该还有BUG，希望有人提醒我，在此分享给各位。
完整的代码：百度网盘（包含了加括号）
在CSDN上搜一搜，发现还是有挺多合式公式的判断，不过很多都是循环暴力破解，虽然有递归，不过代码逻辑不太清晰，描述较少，小白严格按照定义去实现合式公式的判断。
我所用的离散数学书本中合式公式定义如下图：
为了能够在键盘上方便获得联结词，你我约定：
| 联结词 | 键盘 |
|---|---|
| ﹁ | ！(感叹号) |
| ∧ | *(乘号) |
| ∨ | +(加号) |
| ↔ | =(等号) |
| → | -(减号) |
这个定义可能和百度百科的定义不同，百度百科的定义中多了一条量词判断，也就是：若A是合式公式，x是A中的变量符号，则∀xA和∃xA也是合式公式； 其实多一条不要紧，修改也很容易，无非是多一个判断前导字符是不是∀x或者 ∃x而已，因此小白还是按照上图中的定义去编写代码，额外的判断以及后面的真值表留给各位自行发挥。
可以看出合式公式的定义是递归定义，也就是在定义中又使用了定义，因此编写判断代码也应该是递归的，首先要分清标准合式公式和非标准合式公式（为什么有标准和非标准，因为人很懒，不想写括号，就像下图，有人很懒，不想走上电梯，于是他选择“飞”上去，都可以上楼，并没有对错之分，只是别人会当他是个傻子）。
标准合式公式： 严格按照定义的合式公式。 要注意到“严格”两个字，数学上的严格是不允许有一点差错的，必须是十全十美的（数学上能称作标准的东西都是非常正规正矩的，对强迫症者而言是个福音）。
非标准合式公式： 在标准的合式公式基础上省略了括号。 没错，就是因为人很懒，不想写括号，就称作非标准的合式公式，非标准不是错误的意思，而是它并不严格符合定义而已，只要加上括号后又是一个标准的合式公式。
觉得非常生涩？举个例子，!a是非标准，而(!a)是标准，a*b+(!c) 是非标准，而((a*b)+(!c))是标准。日常生活中，写比较短的公式我们一般都是不会加括号的，但是不能否认它不是公式。
判断合式公式（WWF）
既然有标准和非标准之分，那么编程的时候是否需要区分？答案是不需要，上文提到，非标准只是省略了括号，只要人为添加括号就是一个标准合式公式了，所以先把精力放在标准合式公式上面，抽象出定义，其实合式公式只有三类：a、(!A) 、(A@B)。a称为原子命题（只有1个字母），如果稍微知道一点递归，可以知道a就是递归的出口，(!A)使用了单目运算，(A@B)使用了双目运算。
在编写算法之前，我们确定一下人是怎样判断出合式公式的，其实是按照定义一条一条匹配的，举个例子，对于(a*b)，应该怎么判断？
判断过程：
1、根据定义①可知，(a*b)不是原子命题，进入2。如果是原子命题，返回真，结束判断，如果长度是1但不是字母，返回假，结束判断。
2、根据定义②，我们只关心!A，去掉(a*b)的最外层括号，得到a*b，寻找联结词，得到*，并不是!，因此不是(!A)类型，进入3。如果联结词是!，需要继续判断A，让A进入1。
3、根据定义③，我们只关心A@B，把A、B分离，同时进行判断，只有A和B同时是合式公式，才能得出A@B是合式公式，所以结果进行与(&&)运算。去掉(a*b)的最外层括号，寻找联结词，(a*b)中可以得出A=a，B=b，双目运算符@=*，分别让A和B进入1，结果进行与运算，如果运算后为真，(a*b)是合式公式，否则不是合式公式。
……
分别让A和B进入1就不再累述，a和b都是原子命题，返回真，结果相与为真，所以(a*b)是合式公式。
这个过程很像剥洋葱，如果公式足够复杂，会一层一层把括号去掉，进入下一层，直到遇到不能再剥开为止，不能再剥开的就是原子命题，它就是递归的出口。
根据这个过程，我们可以总结出一些核心步骤：判断原子命题、去括号、找联结词、递归调用，可以先写出伪代码：
bool separate()
{
if( is_atom() )
return true;
delete_bracket();
if( !find_operator() )
return false;
return separate();
}
程序的架构已经出来，接下来就是一个个函数去实现以及细节问题，is_atom()和delete_bracket()都好写，关键是find_operator()，如何从!A 或者A@B中寻找联结词！或者@，我们注意到，A@B中@的左边A是一个公式，而所有的数学公式左右括号的数量都必定相等，因为括号是成对出现的，不会单个出现，根据这个，我们就能把A@B从左往右遍历，利用一个标识变量flag，遇到左括号加1，遇到右括号减1，当flag==0的时候，我们就遍历到了一个公式，对于!A也一样，只是需要判断一下当前位置是否为!即可。
所以，find_operator()伪代码如下：
bool find_operator(char *str,int begin,int end)
{
int flag = 0;
for( i = begin ; i<=end; i++)
{
if(str[i]=='(') flag++;
if(str[i]==')') flag--;
if(flag == 0)
{
if( is_operator(str[i+1]) ) //A@B
{
save position = i+1;
return true;
}
else if( is_operator(str[i]) ) //!A
{
save position = i;
return true;
}
else
{
return false;
}
}
}
return false;
}
至于is_operator()函数，只是判断一下是不是我们约定好的联结词，在此就不再贴出。
下面贴出核心分离函数separate，步骤就是我们总结出的核心步骤，而核心步骤是模仿人的思考过程得到。
bool separate(char *str,int begin,int end)
{
if( is_atom(str,begin,end) ) //a
return true;
else //(!A) (A@B)
{
/* 去括号 */
int ibegin = delete_bracket(str,begin,end,left_type);
int iend = delete_bracket(str,begin,end,right_type);
/* 寻找运算符 */
if( (ibegin >= iend) || !find_operator(str,ibegin,iend) )
return false;
/* 递归调用 */
if(save.type == SINGLE) //!A
return separate(str,save.position+1,iend) ;
if(save.type == DOUBLE) //A@B
{
int po = save.position;
return separate(str,ibegin,po-1) && separate(str,po+1,iend);
}
}
}
这样，一个标准的合式公式判断就完成了，以下是一些测试（正确和错误）：
看起来没什么问题。可是！因为人很懒，不想输入这么多括号怎么办？？ 我们先不输入括号，看看我们标准的判断是怎样的。
结果虽然是yes，可是过程有一个错误，就是联结词不分优先级，从左往右碰到谁谁就是最高级，虽然这样分也是可以的，不过如果是要作出真值表，这样就是错误的，为了后面能够作出真值表，我们需要根据优先级人为添加括号。
怎么添加就不再说明了，方法很多，我用了最笨的方法，按照！、*、+、-、=的优先级分别添加。
下面是源码的目录：
wwf是标准的合式公式判断，而wwf_plus就是加括号一些函数。
完整的代码：百度网盘（包含了加括号）
文章开头提及到了，百度百科的合式公式定义还有一个量词判断，以及需要作出合式公式的真值表，各位可以在源码基础上修改得到，如果有兴趣编写的，欢迎联系小白。