Logistic函数的各个参数作用分析及其在电机控制中的应用

近几天对神经网络分类器的学习中，看到了Sigmoid函数。

Sigmoid函数的表达式为：

$S\left ( x \right )=\frac{1}{1+e^{-x}}$

在Matlab或者Octave中可以画出函数曲线。

t = -60:0.1:60;
S = 1./(1+e.^(-0.2*t));
plot(t,S)
xlabel('x')
ylabel('S(x)')
title('Sigmoid')

可是今天我学到了电机上电，电机有一个加速度，让速度达到一个值。而这个加速度，最好是缓慢增加的，而后要缓慢递减了。这样电机转动会更加平稳。业界喜欢称这个过程是“加减速”。见下图。我们需要把电机转动至目标的速度，速度或者加速度的突变，都有可能引起电流浪涌。因为转子速度突然变化，带电的定子线圈上，会引起反电动势。而加速度的突然变化，由于惯性作用，可能造成机械损伤。因此，对速度和加速度的变化、或者注入电机上的电流和电压，最好都有一个渐进的过程。

（这图片感谢《硬石电机控制专题指导手册_20180515》这部分开源的）

根据理解，最好是让速度和时间的曲线为S形曲线。但是这个曲线在单片机上较难实现。传统的减少速度

加速度突变的方法是用左边的梯形加减速方法。

但是我手头的板子是STM32F4，是一款带有FPU的内核为Cortex-m4的微控制器，所以实时性是有保证的。该MCU的工作频率可达168MHz，我选择每1ms执行一次本算法。这从CPU消耗来看，应该还是十分充裕的。

想起了之前的神经元激活函数Sigmoid，于是上网搜了S形函数，找到了Logistic函数。

$P\left ( t \right )=\frac{KP_0e^{\tau t}}{K+P_0\left ( e^{\tau t}-1 \right )}$

经过化简，可得：

$P\left ( t \right )=\frac{K}{1+\left ( \frac{K}{P_0}-1 \right ) e^{-\tau t}}$

这个函数，有三个变量，第一个是K，K是终值； $P_0$ 是初值，即当t=0时，曲线对纵坐标横截点。而 $\tau$ 是时间常数。

下图中，P0不变（P0=0.5），\tau不变（\tau = 1），K变化。蓝色线是K=1，红色线是K=10，绿色线是K=100。


P0=0.5;
K=1;
r=1;

t = -10:0.1:10;
Pt = K./(1+(K/P0-1).*e.^(-r*t));
plot(t,Pt,'b')

K=10;
Pt = K./(1+(K/P0-1).*e.^(-r*t));
hold on
plot(t,Pt,'r')

K=100;
Pt = K./(1+(K/P0-1).*e.^(-r*t));
hold on
plot(t,Pt,'g')
xlabel('t')
ylabel('P(x)')
title('Logistic curve of P0=0.5. t=1. K=1,10,100')

可以见到，曲线最后逼近极限值就是K。

而后，我们改变P0；令时间常数为1，K=10，起始值P0分别为1（蓝色线）、5（红色线）、9（绿色线）。

在Matlab或者Octave执行以下代码：

P0=1;
K=10;
r=1;

t = -10:0.1:10;
Pt = K./(1+(K/P0-1).*e.^(-r*t));
plot(t,Pt,'b')

P0=5;
Pt = K./(1+(K/P0-1).*e.^(-r*t));
hold on
plot(t,Pt,'r')

P0=9;
Pt = K./(1+(K/P0-1).*e.^(-r*t));
hold on
plot(t,Pt,'g')
xlabel('t')
ylabel('P(x)')
title('Logistic curve of P0=1, 5, 9. t=1. K=10')

可显示波形：

初始值，就是t=0时候，P(t)的值。t=0时，P(0)=P0。曲线整体似乎是根据P(0)左右移动。

第三个参数是时间常数。令K=1，P(0)=0.5，\tau 分别是 0.1、1、10

下午试着调这三个参数到平缓，并令函数的输出转换为电机的脉冲速度（电机是步进电机，每一个发送一个脉冲即转动一个角度）。增加每秒内脉冲的个数，即可增加电机的转速。

另外，在减速中，也可以使用本方法，只需要把曲线经过纵轴镜像，即可得到减速的速度曲线。

镜像后的曲线函数：

$P\left ( t \right )=\frac{K}{1+\left ( \frac{K}{P_0}-1 \right ) e^{\tau t}}$

本文比较思路比较乱……就当作草稿来看吧……国庆节在自己的房间里呆着干活也不容易。

总之，主要讲的是S形曲线。没想到在电机控制这里又用得到。

Logistic函数的各个参数作用分析及其在电机控制中的应用

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