130. Heapify-堆化（siftup & siftdown版本)

Description

给出一个整数数组，堆化操作就是把它变成一个最小堆数组。

对于堆数组A，A[0]是堆的根，并对于每个A[i]，A [i * 2 + 1]是A[i]的左儿子并且A[i * 2 + 2]是A[i]的右儿子。

说明

什么是堆？

堆是一种数据结构，它通常有三种方法：push， pop 和 top。其中，“push”添加新的元素进入堆，“pop”删除堆中最小/最大元素，“top”返回堆中最小/最大元素。

什么是堆化？

把一个无序整数数组变成一个堆数组。如果是最小堆，每个元素A[i]，我们将得到A[i * 2 + 1] >= A[i]和A[i * 2 + 2] >= A[i]

如果有很多种堆化的结果？

返回其中任何一个。

样例

给出 [3,2,1,4,5]，返回[1,2,3,4,5] 或者任何一个合法的堆数组

挑战

O(n)的时间复杂度完成堆化

Solution

基于 Siftup 的版本 $O (n l o g n)$

算法思路：

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对于每个元素A[i]，比较A[i]和它的父亲结点的大小，如果小于父亲结点，则与父亲结点交换。
交换后再和新的父亲比较，重复上述操作，直至该点的值大于父亲。

时间复杂度分析

对于每个元素都要遍历一遍，这部分是 $O (n)$ 。
每处理一个元素时，最多需要向根部方向交换 $l o g n$ 次。

因此总的时间复杂度是 $O (n l o g n)$

public class Solution {
    /*
     * @param A: Given an integer array
     * @return: nothing
     */
    Version 2: This cost O(nlogn)
    public void heapify(int[] A) {
        // write your code here
        for (int i = 0; i < A.length; i++) {
            siftup(A, i);
        }
    }
    private void siftup(int[] A, int k) {
        while (k != 0) {
            int father = (k - 1) / 2;
            if (A[k] > A[father]) {
                break;
            }
            int temp = A[k];
            A[k] = A[father];
            A[father] = temp;
            
            k = father;
        }
    }
    
}

基于 Siftdown 的版本 $O (n)$

算法思路：

初始选择最接近叶子的一个父结点，与其两个儿子中较小的一个比较，若大于儿子，则与儿子交换。
交换后再与新的儿子比较并交换，直至没有儿子。
再选择较浅深度的父亲结点，重复上述步骤。

时间复杂度分析

这个版本的算法，乍一看也是 $O (n l o g n)$ ，但是我们仔细分析一下，算法从第 n/2 个数开始，倒过来进行 siftdown。也就是说，相当于从 heap 的倒数第二层开始进行 siftdown 操作，倒数第二层的节点大约有 n/4 个，这 n/4 个数，最多 siftdown 1次就到底了，所以这一层的时间复杂度耗费是 $O (n / 4)$ ，然后倒数第三层差不多 n/8 个点，最多 siftdown 2次就到底了。所以这里的耗费是 O(n/8 * 2), 倒数第4层是 O(n/16 * 3)，倒数第5层是 O(n/32 * 4) ... 因此累加所有的时间复杂度耗费为：

T(n) = O(n/4) + O(n/8 * 2) + O(n/16 * 3) ...

然后我们用 2T - T 得到：

2 * T(n) = O(n/2) + O(n/4 * 2) + O(n/8 * 3) + O(n/16 * 4) ... 
T(n)     =          O(n/4)     + O(n/8 * 2) + O(n/16 * 3) ...

2 * T(n) - T(n) = O(n/2) +O (n/4) + O(n/8) + ...
                = O(n/2 + n/4 + n/8 + ... )
                = O(n)

因此得到 T(n) = 2 * T(n) - T(n) = O(n)

public class Solution {
    /*
     * @param A: Given an integer array
     * @return: nothing
     */
    // Version 1: this cost O(n)
    public void heapify(int[] A) {
        for (int i = (A.length - 1) / 2; i >= 0; i--) {
            siftdown(A, i);
        }
    }
    private void siftdown(int[] A, int k) {
        while (k * 2 + 1 < A.length) {
            int son = k * 2 + 1;        // A[i] 的左儿子下标
            if (k * 2 + 2 < A.length && A[son] > A[k * 2 + 2]) {
                son = k * 2 + 2;        // 选择两个儿子中较小的
            }
            if (A[son] > A[k]) {
                break;
            }
            int temp = A[son];
            A[son] = A[k];
            A[k] = temp;
            
            k = son;
        }
    }
}