拓扑学引论

第一章拓扑空间与连续映射

1.1 拓扑空间的定义

引：开集公理
1.全集和空集是开集；
2.任意多开集的并是开集；
3.有限多开集的交是开集；

注：而，拓扑的定义实际上是将这三条抽象出来，定义了一种更普遍的开集。

定义1.1 设X是一非空集合，X的一个子集族 $\tau$ 称为X的一个拓扑，如果它满足：

（1）X， $\phi$ 都在 $\tau$ 中；
（2） $\tau$ 中任意多成员的并仍在 $\tau$ 中；
（3） $\tau$ 中有限多成员的交集仍在 $\tau$ 中。
集合X和它的一个拓扑 $\tau$ 一起称为一个拓扑空间，记作（X， $\tau$ ）.称 $\tau$ 中的成员为这个拓扑空间的开集。

注：可以看出 $\tau$ 相当于集合X上的一种规则，它规定了那些集合是开集，相对的这些开集的补集就为闭集。当然X中不可避免的会存在一些既不是开集也不是闭集的。

离散拓扑： $2^X$
平凡拓扑： {X, $\phi$ }

余有限拓扑： 设X是无穷集合， $\tau_f$ = { $A^c|A是X的有限子集$ } $\cup$ { $\phi$ }
余可数拓扑： 设X是不可数无穷集合， $\tau_c$ = { $A^c|A是X的可数子集$ } $\cup$ { $\phi$ }
欧式拓扑： 设R是全体实数的集合集合，规定 $\tau_e$ = {U|U 是若干个开区间的并集}（无穷、有限、0）

注：关系： $\tau_f<$ $\tau_c$ , $\tau_f<$ $\tau_e$ ，而 $\tau_e$ 、 $\tau_c$ 无法比较。

1.2 度量拓扑

引：
度量：集合X上的一个度量d :X $\times$ X $\rightarrow$ R，满足
（1）正定性： $d(x,x) =0,\forall x\in X,$
$\qquad \qquad \qquad d(x,y)>0,当 x \neq y;$
（2）对称性： $d(x,y) = d(y,x),\forall x,y\in X;$
（3）三角不等式：
$d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z) ,\forall x,y,z \in X.$
当集合 X 上规定了一个度量 d 后，称为度量空间 ，记作（X,d）.

球形邻域： 设 $x_0 \in X, \varepsilon$ 是一正数，
$\qquad \qquad$ 称 X 的子集 $B(x_0,\varepsilon) :=\{ x \in X| \quad d(x_0,x)< \varepsilon\}$ 为以 $x_0$ 为 $\qquad \qquad$ 心， $\varepsilon$ 为半径的球形邻域。

$\tau_d:= \{ U| U是若干个球形邻域的并集 \}$
称 $\tau_d$ 为 X 上由度量 d 决定的度量拓扑。