优先队列与赫夫曼树

1.赫夫曼树

带权路径最短的二叉树，亦称为最优二叉树。在压缩编码方面，求解最小带权和方面有着重要应用。往往机试题即是求最小的带权长度和，如典型的合并石子问题。在解决这类问题时，一般可分为以下几个方面：

首先将所有节点放入集合K，同时初始化全局变量ans=0；

然后从集合K中选出最小权值的两个节点，将他们的和sum放入K，更新ans为ans+sum,同时从K中删除这两个节点；

若集合K中只剩一个节点时，即为根节点，输出的ans即为带权路径的总长度。

2.优先队列

基于赫夫曼树在求解最小带权路径和方面时，每次都是从集合 $K$ 中选取出最小的两个值，我们可以利用优先队列的特征，维持一个小顶堆，每次取出小顶堆堆顶的两个值，同时将他们的和放入堆中，利用 $ans$ 统计每次的和，然后弹出这两个值。当堆里只有一个元素时，输出的 $ans$ 即为带权的路径和。在取出最小的两个值时，时间复杂度可将为 $O(logn)$

#include<queue>
using namespace std;
priority_queue<int>  Q;//默认为大顶堆
priority_queue<int,vector<int>,greater<int> >  Q2;//小顶堆，注意末尾两个>>有间隔，否则可能报错

3. 举个栗子

题目：搬水果
题目描述
在一个果园里，小明已经将所有的水果打了下来，并按水果的不同种类分成了若干堆，小明决定把所有的水果合成一堆。每一次合并，小明可以把两堆水果合并到一起，消耗的体力等于两堆水果的重量之和。当然经过 n‐1 次合并之后，就变成一堆了。小明在合并水果时总共消耗的体力等于每次合并所耗体力之和。假定每个水果重量都为 1，并且已知水果的种类数和每种水果的数目，你的任务是设计出合并的次序方案，使小明耗费的体力最少，并输出这个最小的体力耗费值。例如有 3 种水果，数目依次为 1，2，9。可以先将 1，2 堆合并，新堆数目为3，耗费体力为 3。然后将新堆与原先的第三堆合并得到新的堆，耗费体力为 12。所以小明总共耗费体力=3+12=15，可以证明 15 为最小的体力耗费值。
输入描述:
每组数据输入包括两行,第一行是一个整数 n(1<=n<=10000),表示水果的种类数。第二行包含 n 个整数，用空格分隔，第 i 个整数(1<=ai<=1000)是第 i 种水果的数目。
输出描述:
对于每组输入，输出一个整数并换行，这个值也就是最小的体力耗费值。输入数据保证这个值小于 2^31。
示例1
输入

3
9 1 2

输出

15

思路：利用优先队列维持一个小顶堆，然后用 $ans$ 统计总的体力值即可。

#include <stdio.h>
#include <queue>
#include<algorithm> 
#include<iostream>
using namespace std;
priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > Q; //升序优先队列实现最小堆
int main()
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=0;i<n;++i)
	{
	    int x;
	    scanf("%d",&x);
	    Q.push(x);
	}
	int ans=0;
	while(Q.size()>1){
	    int a=Q.top();Q.pop();
	    int b=Q.top();Q.pop();
	    ans+=a+b;
	    Q.push(a+b);
	}
	printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

参考资料

《计算机考研机试指南》