保险精算Chapter03

第三章 生命表基础

引言

• 以人寿保险介绍精算法的基本思想和理论

• 人寿保险是以人的生命为保险标的的保险. 通常是长期业务, 保险金事先确定, 关键在与保险事故发生的事件及概率, 这与人的寿命有关.

• 研究人的寿命长短的规律对人寿保险的保险费, 责任准备金, 现金价值是至关重要的.

• 生命函数

• 生命表

• 非整数寿命

一、生命函数

寿命及其分布函数

• 记随机变量 $X$ 表示新生婴儿未来的寿命, 显然 $X$是一个连续型随机变量.

• • 称 $F(x)=P(X \le x)$ 为 $X$ 的分布函数
• • 称 $f(x)=F'(x)$ 为 $X$ 的密度函数
• • 称 $E(X)=\int_0^{\infty} xf(x) \rm{d}x$, 平均寿命
• • $F(x)$的作用: 表示 $0$岁的人即新生婴儿在 $x$岁之前死亡的概率.
• • $x$岁的人在 $x-x+1$之间死亡的概率: $P(x < X \le x+1 |X > x) = \frac{P(x < X \le x+1)\cap P(X > x)}{P(X>x)}=\frac{F(x+1)-F(x)}{1-F(x)}$

生存函数

• 设随机变量 $X$ 表示新生婴儿未来的寿命,称 $s(x)=P(X>x)$为 $X$的生存函数, 表示 $0$岁的人活过 $x$岁的概率.

• • $s(x)=1-F(x), s(0)=1$
• • $s(50)$表示 $0$岁的人活过 $50$岁的概率

• 生存函数常见表达式

• • de Moivre假设(1729): $s(x)=1-\frac{x}{\omega}$
• • Gompertz假设(1825): $s(x)=exp[-\frac{B}{\ln c}(c^x -1)]$
• • Makaham假设(1860): $s(x)=exp[-Ax-\frac{B}{\ln c}(c^x -1)]$
• • Weibull假设(1939): $s(x)=exp(-\frac{kx^{n+1}}{n+1})$

• 余命

• • 记 $(x)$表示一个现年 $x$岁的人, 则 $X-x$表示该人未来的剩余寿命, 记为 $T(x)=X-x$, 简称余命
• • $F_T(t) = P(T \le t) = P(X-x \le t |X>x)=P(x<X\le x+1|X>x)$, $F_T(t)=\frac{s(x)-s(x+t)}{s(x)},t\ge 0$
• • 分布函数 $f_T(t)=F_T'(t)=-\frac{s'(x+t)}{s(x)}$

• 用生存函数表示死亡率和生存率

• • $(x)$在 $x+t$岁之前死亡的概率 ${}_t{q_x}=P(T(x) \le t) = \frac{s(x)-s(x+t)}{s(x)}$
• • $(x)$在 $x+t$岁时仍存活的概率 ${}_t{p_x}=1-{}_t{q_x}$
• • $(x)$在 $x+t \sim x+t+u$之间死亡的概率, 记为 ${}_{t|u}{q_x}=P(t<T(X)\le t+u)=P(T(x) \le t+u) - P(T(x)\le t)$
    $={}_{t+u}{q_x}-{}_t{q_x}={}_t{p_x}-{}_{t+u}{p_x}$
    $=\frac{s(x+t)-s(x+t+u)}{s(x)}=\frac{s(x+t)}{s(x)} \times \frac{s(x+t)-s(x+t+u)}{s(x+t)}$
    $={}_t{p_x} \times {}_u{q_{x+t}}$

• 取整余命

• • $(x)$未来能存活的正数年数, 称为 $(x)$的取整余命, 记为 $K(x)$. 即 $K(x)=[T(x)]=[X-x]$
• • 分布律: $P(K(x) = k)=P(k \le T(x) < k+1)=P(k<T(x) \le k+1)$
    ${}_k{|q_x}={}_k{p_x}\times q_{x+k}$
    $=\frac{s(x+k)-s(x+k+1)}{s(x)}$

• 死力

• • $\mu_x = -\frac{s'(x)}{s(x)}$
• • $\mu_x = -[\ln s(x)]' \Leftrightarrow \int_0^x \mu_y \rm{d}y = -\int_0^x [\ln s(x)]' \rm{d}y \Leftrightarrow s(x) = exp(-\int_0^x \mu_y \rm{d}y)$
• • $f_T(t) = -\frac{s'(x+t)}{s(x)}=\frac{s(x+t)}{s(x)}[-\frac{s'(x+t)}{s(x+t)}] \Leftrightarrow f_T(t)={}_t{p_x} \times \mu_{x+t}$
    $=\frac{exp(-\int_0^{x+t}\mu_y \rm{d}y)}{exp(-\int_0^x \mu_y \rm{d}y)}\times \mu_{x+t} \Leftrightarrow f_T(t) = exp(-\int_0^x \mu_{x+s} \rm{d}s) \times \mu_{x+t}$

例: 已知 $(x)$服从棣莫弗假设, 计算 $f_T(t),\mu_x,q_x,{}_k{|q_x}$

解答:
$\because s(x)=1-\frac{x}{\omega} $
$\therefore f_T(t)=-\frac{s'(x+t)}{s(x)}=-\frac{\left ( 1-\frac{x+t}{\omega} \right)'}{1-\frac{x}{\omega}}=\frac{1}{\omega - x}$
$\therefore \mu_x = -\frac{s'(x)}{s(x)}=-\frac{ \left (1-\frac{x}{\omega} \right)'}{1-\frac{x}{\omega}}=\frac{1}{\omega - x}$
$\therefore q_x = \frac{s(x)-s(x+1)}{s(x)}=\frac{1-\frac{x}{\omega} - \left (1-\frac{x+1}{\omega} \right)}{1-\frac{x}{\omega}}=\frac{1}{\omega -x}$
$\therefore {}_k{|q_x} = \frac{s(x+k)-s(x+k+1)}{s(x)}=\frac{1-\frac{x+k}{\omega} - \left (1-\frac{x+k+1}{\omega} \right)}{1-\frac{x}{\omega}}=\frac{1}{\omega -x}$

二、生命表

生命表简介

• 生命表 ：根据以往一定时期内各种年龄死亡统计资料编制的由每个年龄死亡率所组成的汇总表

• 意义：生命表是进行寿险精算的科学基础, 它是寿险费率和责任准本金计算的依据，也是寿险核算的依据。

• 分类

• • 国民生命表：根据全体国民或特定地区人口的死亡统计数据编制的生命表。
• • 经验生命表

生命表内容

保险公司表单

• 生存人数 $l_x$：表示出生至满 $x$岁时尚存活人数的期望值

• • 递减函数
• • $l_x=l_0s(x)$
• • 极限年龄 $l_{\omega} \neq 0$, 但 $l_{\omega +1} =0$

• 死亡人数 $d_x$

• • 表示 $x$岁的人在 $1$年内死亡的人数, 即 $l_x$中，经过 $1$年死亡的人数.
• • $d_x = l_x - l_{x+1}$
• • $d_{\omega} = l_{\omega}$

• 死亡率 $q_x$

• • 表示 $x$的人在 $1$年内死亡的概率
• • $q_x = \frac{d_x}{l_x}=\frac{l_x - l_{x+1}}{l_x}$

• 生存人年数 $L_x$

• • 人年数是表示人群存活时间的复合单位, 一个人存活了一年称为一人年。
• • $L_x$: $x$岁的人平均生存的人年数，是指活到 $x$岁的人在达到 $x+1$岁前平均存活的人年数.
• • 若死亡发生在年初, 则 $x$岁的人的生存人年数 $L_x = l_{x+1}$；若每年死亡均匀分布, 则 $x$岁的人生存人年数 $L_x = \frac{l_x + l_{x+1}}{2}$

• 累计生存人年数 $T_x$

• • 是指活到 $x$岁的人群未来将存活的总人年数
• • $T_x = L_x + L_{x+1} + \cdots +L_{\omega}$

• 平均余命 $e_x$

• • 是指 $x$岁的人未来可生存的平均年数
• • $e_x = \frac{T_x}{l_x}$
• • 若死亡发生在年初，则 $e_x = \frac{(l_{x+1}+\cdots + l_{\omega})}{l_x}$; 若每年死亡均匀分布, 则称完全平均余命, $\frac{\frac{l_x+l_{x+1}}{2}+\cdots+\frac{l_{\omega + l_{\omega +1}}}{2}}{l_x}=e_x + \frac{1}{2}={\mathop e \limits^ \circ}_x$

• 由生命表计算其他概率

• • 生存率 $p_x=1-q_x=\frac{l_{x+1}}{l_x}$
• • $n$年生存率 ${}_n{p_x}$:是指 $x$岁的人经过 $n$年后扔存活的概率。 ${}_n{p_x} = \frac{x+n}{l_x}=p_x \cdots p_{x+n-1}$
• • ${}_m{|q_x}=\frac{d_{x+m}}{l_x}=\frac{l_{x+m}}{l_x}-\frac{l_{x+m+1}}{l_x}={}_m{p_x} - {}_{m+1}{p_x}={}_{m+1}{q_x}-{}_m{q_x}={}_m{p_x} \times q_{x+m}$

小结

本章主要学习了生命表等相关概念.可以理解为利用概率统计的方法来研究人的寿命的问题.