第一章 利息的基本概念
一、实际利率与实际贴现率
1.利息的概念:简单来讲就是一定时期内所获得的报酬。这里的报酬与本金、利率有关。
2.本金的概念:借款的初始资金。为计算方便以1开始。可看成起始金额。
3.积累值或终值:积累值得决定因素:a.本金;b.时间长度。
利息即终值减去本金,即它们的差额。
假设:本金为1,经过时间t后的积累值为
a(t)
,例如:
a(1)
表示经过一年以后的积累值,
a(0)
表示起始值,即
a(0)=1
。一般的,当本金不是1时,可以定义
A(t)=kA(t)
,其中
k
表示起始的本金。
注意:
k
可以不是整数。
折现因子:
1a(t)
或
a−1(t)
,其含义:在t期末支付一个单位的现值。
例如下图理解:
现值为当初资金,终值是现在的。两者之间的差额为利息。
- 第
n
时期所得利息
In=An−An−1
实际利率
5.利率:
in=A(n)−A(n−1)A(n−1)=InA(n−1)
,注意这里分母为第
n
期的起始值。
例如:
某人存100元,第一年末为102,第二年末为105.问第一年实际利率,第二年实际利率分别是多少?
解答:本金:
A(0)=100,A(1)=102,A(2)=105
,有
I1=A(1)−A(0)=2,I2=A(2)−A(1)=3
i1=I1A(1)=2%,i2=I2A(1)=2.941%
单利与复利
6.单利:投资1,第
t
期积累值为:
a(t)=1+i×t
,即一定时期内,利率一定。
单利情况下的实际利率为:
in=a(n)−a(n−1)a(n−1)=i1+i(n−1)
,随着
n
增大,实际利率变小,常数的利率代表递减的实际利率。
7.复利:投资1,第
t
期积累值为:
a(t)=(1+i)t
,即将所得利息也作为本金进行计算。
复利情况下的实际利率:
in=a(n)−a(n−1)a(n−1)=i
结论:单利的利息不作为投资资金而再赚取利息,复利则相反。
例子:
某人借款10000元,年利息为
2%
,到5年末要还多少?(分别利用单利和复利进行计算。)
解答:按照单利进行计算:则有
A(5)=10000×(1+5×2%)=11000
;
按照复利进行计算:则有
A(5)=10000×(1+2%)5=1.1041e+04
实际贴现率
考虑这样一个问题:知道现在的金额,如何计算初值?即贴现的问题。
8.实际贴现率:实际贴现率即某时期取得的利息和期末资金的比率。第
n
期的实际贴现率为
dn=A(n)−A(n−1)A(n)=InA(n)
。在复利情况下的实际贴现率的计算:
dn=a(n)−a(n−1)a(n)=i1+i
,可得:
i=d1−d
贴现率与折现因子的关系:
d=iv=ia−1(t)
,按照复利计算。
二、名义利率和名义贴现率
i(m)
表示每个度量期支付
m
次利息的名义利息,含义:每个
1m
个度量期的实际利率是
i(m)m
;
d(m)
表示每个度量期支付的
m
次利息的名义贴现率,每
1m
度量期的实际贴现率为
d(m)m
可以得出名义利率与实际利率的关系:
1+i=(1+i(m)m)m
1+i
可以理解为一次性支付,而
(1+i(m)m)m
是多次(即进行
m
期支付,利用复利进行计算)进行支付,因而最终的结果相等。从上面等式也可以解出
i(m)=m[(1+i)1m−1]
将贴现期间分成
m
期,则可以得到:
v=11+i=1−d=(1−d(m)m)m⇔d(m)=m[1−(1−d)1m]
1−d
可以理解为
1
直接贴现到零时刻,而
(1−d(m)m)m
则是分
m
期贴现到零时刻,因而两者相等。
名义利率与名义贴现率之间的关系
从
1+i=(1+i(m)m)m
以及
v=11+i=1−d=(1−d(m)m)m⇔d(m)=m[1−(1−d)1m]
可以得到(解出
i+1
)
(1+i(m)m)=1+i=(1−d(p)p)−p,m,p∈N+
三、利息强度
即将离散连续化。即每时每刻都计算利息。
利息强度的概念:
设积累函数为
A(t)=ka(t)
, 则:
δt=limt→0a(t+t)−a(t)a(t)t=1a(t)limt→0a(t+t)−a(t)a(t)=a′(t)a(t)=A′(t)A(t)=ddtlnA(t)
即
δt=a′(t)a(t)⇔∫t0δrdr=∫t0[lna(r)]′dr=lna(t)−lna(0)=lna(t)⇒a(t)=e∫t0δrdr
于是可以得出积累值为:
A(t)=ka(t)=ke∫t0δrdr
利息为:
In=A(n)−A(n−1)
利息强度的理解:利息强度将利息由离散的状态转化成了连续的状态,即利用利息强度可以计算每时每刻的积累值。
利息强度与利率的关系:
若
δt=δ
, 则
a(n)=e∫n0δrdr=enδ
, 于是
in=a(n)−a(n−1)a(n−1)=eδ−1
利息强度与实际利率、实际贴现率的关系。。
若利息强度为常数,则
i=eδ−1⇔δ=ln(1+i)
;
δ=ln(1+i)⇔1+i=e−δ=11+i⇔e−δ=v=1−d
利息强度与名义利率、贴现率关系
δ=ln(1+i)⇔eδ=1+i=(1+i(m)m)m⇔eδ=(1+i(m)m)m
;
δ=δt=a′(t)a(t)=1a(t)limh→0a(t+h)−a(t)h=i=limm→∞i(m)
;
e−δ=1−d=(1−d(m)m)m⇔eδ=(1−d(m)m)−m
;
从上式得出:
1+i(m)m=(1−d(m)m)−1⇔d(m)=i(m)+
.
本章总结
在第一章中,主要学习的一些例如实际利率、实际贴现率、名义利率、名义贴现率、利息强度等概念以及如何计算的相关知识,现在将一些重要的公式列表如下:
内容总结 |
数学公式表示 |
1.本金为1的积累值 |
a(t)
|
2.本金为
k
的积累值 |
A(t)=ka(t)
|
3.第
n
个时期的利息金额 |
In=A(n)−A(n−1)
|
4.第
n
个时期的实际利率 |
in=A(n)−A(n−1)A(n−1)=InA(n−1)
|
5.单利的积累值 |
a(t)=1+i×t
|
6.复利的积累值 |
a(t)=(1+i)t
|
7.实际贴现率 |
dn=A(n)−A(n−1)A(n)=InA(n)
|
8.名义利率与实际利率 |
1+i=(1+i(m)m)m
|
i=(1+i(m)m)m−1
,
i(m)=m[(1+i)1m−1]
|
|
9.名义贴现率 |
1−d=(1−d(m)m)m
|
d(m)=m[1−(1−d)1m]=m(1−v1m)
|
|
10.名义贴现率与实际贴现率之间的关系 |
(1+i(m)m)m=1+i=(1−d(p)p)−p
|
11.利息强度 |
δt=A′(t)A(t)=a′(t)a(t)
|
变形 |
δt=ddtlnA(t)
|