利用位运算实现加减乘除

受《剑指offer》上题目的启发，现在把利用位运算做加、减、乘、除的方法总结一下。
参考网址：https://blog.csdn.net/sinat_35261315/article/details/72904945

基础知识

数据在计算机内存中是以二进制存储的。
几种常用的位运算：
$··$ 与运算 &：对应位均为1时为1，其它为0。
$··$ 或运算 |：对应位均为0时为0，其它为1。
$··$ 异或运算 ^：对应位不相同时为1，相同时为0.
$··$ 按位取反 ~：每一位取反
$··$ 右移 >>：将二进制进行右移，低位丢掉，高位补零。
$··$ 左移 <<：将二进制进行左移，低位补零，高位丢掉。

加法

参考《剑指offer》题目链接：https://blog.csdn.net/Allenlzcoder/article/details/79705597
代码如下：

int add(int num1, int num2) {
    int res = 0, carry = 0;
    res = num1^num2;
    carry = (num1&num2) << 1;
    while (carry) {
        int tmp = res;
        res = res^carry;
        carry = (tmp&carry) << 1;
    }
    return res;
}

减法

减法和加法相同，减去一个数相当于加上这个数的相反数，所以完全可以利用加法操作，唯一需要做的就是求出被减数的相反数。
求相反数的方法：每一位取反，末位加一。
代码如下：

//求n的相反数
//~：按位取反
//add：加法操作，末位加一
int negtive(int n) {
    return add(~n, 1);
}

int subtraction(int a, int b) {
    //加上被减数的相反数
    return add(a, negtive(b));
}

乘法

平时在笔算乘法数据都是十进制的，而抛去思维定势，把数看成是二进制，也可以进行笔算乘法，像这样，A表示0.1101；B表示0.1011.
这里写图片描述
根据算式可以知道，对于A*B，步骤细分如下：
1) 将A左移1位（<< 1或者 *2）；
2) 将1)的结果乘上B的对应位数字（0 或1）；
3) 把2)的结果和之前的结果相加。
也就意味着当B的对应位为1时，对A左移一位然后同上一次的结果做加法。
如果b的对应位为0，只对A左移一位。
当然，上述这些运算不包括符号位，所以两个操作数都需要先转换成正数，符号需要单独考虑。对于4个字节（32位整数）来说，获取符号位只需要取出第31位的值即可。
代码如下：

//取出符号位
int getSign(int n) {
    return n >> 31;
} 

//求n的绝对值
int positive(int n) {
    return (getSign(n) & 1) ? negtive(n) : n;
}

int multiply(int a, int b) {
    //如果两个数符号位不相容，则结果为负
    bool isNegtive = false;
    if(getSign(a) ^ getSign(b))
        isNegtive = true;
    a = positive(a);
    b = positive(b);
    int res = 0;
    while (b | 0) {
        //当b的对应位是1时，才需要加a
        if(b & 1)
            res = add(res, a);
        a = a << 1; //a左移
        b = b >> 1; //b右移
    }
    return isNegtive == true ? negtive(res) : res;
}

除法

同乘法一样，除法也可以进行二进制笔算，以a/b为例，只有当a >= b时才可以上商，又因为是二进制，所以商每次只会多1，在每次上1之后a都要减去一次b。代码如下：

int divide(int a, int b) {
    //被除数不能为0
    if (b == 0)
        throw std::runtime_error("Divided can't be zero...");

    bool isNegtive = false;
    if (getSign(a) ^ getSign(b))
        isNegtive = true;

    a = positive(a);
    b = positive(b);

    int res = 0;
    while (a >= b) {
        res = add(res, 1);
        a = subtraction(a, b);
    }
    return beNegtive == true ? negtive(res) : res;
}