位运算符实现加减乘除

要用位运算来实现四则运算，不仅仅要知道&,|,~,^,<<,>>怎么做，还需要先掌握位运算的几个运算规律：

1：~n=-(n+1)，比如：~3=-4

2:获取整数n的二进制串中最后一个1：-n&n=~(n-1)&n

3:去掉整数n的二进制串中最后一个1:n&(n-1)。

然后，我们就可以使用常规位运算并结合上面的运算规律来实现四则运算了。

 

加法：a+b

由a^b可得按位相加后没有进位的和；

由a&b可得可以产生进位的地方；

由(a&b)<<1得到进位后的值。

那么  按位相加后原位和+进位和  就是加法的和了，而  a^b +  (a&b)<<1  相当于把  +  两边再代入上述三步进行加法计算。直到进位和为0说明没有进位了则此时原位和即所求和。

public int add(int a,int b) {
        int res=a;
        int xor=a^b;//得到原位和
        int forward=(a&b)<<1;//得到进位和
        if(forward!=0){//若进位和不为0，则递归求原位和+进位和
            res=add(xor, forward);
        }else{
            res=xor;//若进位和为0，则此时原位和为所求和
        }
        return res;                
    }

 

减法：a-b

由-b=+(-b)，~（b-1）=-b可得a-b=a+（-b）=a+(~(b-1))。把减法转化为加法即可。

public int minus(int a,int b) {
        int B=~(b-1);
        return add(a, B);        
    }

 

乘法：a*b

先来看一下二进制乘法是怎么做的：

*  1010  
--------  
(1011<<1,相当于乘以0010)  
(1011<<3,相当于乘以1000)  
--------

可以看到，二进制乘法的原理是：从乘数的低位到高位，遇到1并且这个1在乘数的右起第i（i从0开始数）位，那么就把被乘数左移i位得到 temp_i 。直到乘数中的1遍历完后，把根据各位1而得到的被乘数的左移值们 temp_i 相加起来即得乘法结果。那么根据这个原理，可以得到实现代码：这里要点为：用i记录当前遍历的乘数位,当前位为1则被乘数左移i位并加到和中，同时i++处理下一位；为0则乘数右移，i++，处理下一位......直到乘数==0说明乘数中的1遍历完了。此时把和返回即可。

public int multi(int a,int b){
        int i=0;
        int res=0;
        while(b!=0){//乘数为0则结束
            //处理乘数当前位
            if((b&1)==1){
                res+=(a<<i);
                b=b>>1;
                ++i;//i记录当前位是第几位
            }else{
                b=b>>1;
                ++i;
            }
        }
        return res;
    }

 

除法：a/b

除法的意义就在于：求a可以由多少个b组成。那么由此我们可得除法的实现：求a能减去多少个b，做减法的次数就是除法的商。

public int sub(int a,int b) {
        int res=-1;
        if(a<b){
            return 0;
        }else{
            res=sub(minus(a, b), b)+1;
        }
        return res;
    }