icpc预赛徐州： Easy Math （杜教筛）

原题：ACM-ICPC 2018 徐州赛区网络预赛 Easy Math

题意：

求$\sum_{i=1}^mu(in)$

解析：

如果n有个因子是某个素数的平方，那么根据莫比乌斯函数，答案为0，所以我们考虑其他的情况

设d为n的一个素因子，那么n/d与d互质，而莫比乌斯函数又是积性函数，所以有：

$$\sum_{i=1}^mu(in)=\sum_{i=1}^mu(i*d*\frac{n}{d})=\sum_{i=1}^mu(i*\frac{n}{d})*u(d)$$

而质数的函数值为-1，所以原式变成：

$$-\sum_{i=1}^mu(i*\frac{n}{d})$$

但是我们好像漏了一个东西，d和n/d互质，但是只有当d和i也互质的时候才能拆出来，而不能拆出来的部分有哪些呢？d为质数，所以i为d的倍数的时候才不互质，所以答案为：

$$\sum_{i\in[1,m]}^{d\nmid i}u(i*\frac{n}{d})*u(d)+\sum_{i\in[1,m]}^{d\mid i}u(i*\frac{n}{d}*d)$$

显然右边部分为0，答案为：

$$-\sum_{i=1}^mu(i*\frac{n}{d})+\sum_{i\in[1,m]}^{d\mid i}u(i*\frac{n}{d})\\=-\sum_{i=1}^{m}u(i*\frac{n}{d})+\sum_{i=1}^{m/d}u(in)$$

为什么后半部分可以把1/d提到前面去呢？因为后半部分的i本来就只能取d的倍数，而前半部分i范围为1到m，换成1到m/d后就少了很多

接下来令原答案为Ans(n,m)，则有：

$$Ans(n,m)=-Ans(n/d,m)+Ans(n,m/d)$$

递归到最后Ans(n,0)显然是0，而Ans(1,m)，在n=1时已经取不到d了就不能往下分了，也就是说需要计算以下公式：

$$Ans(1,m)=\sum_{i=1}^mu(i)$$ 这个其实裸杜教筛就可以了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
const int N=10000111;
#define pill pair<LL ,LL>
int u[N];
LL pre[N];
LL pri[N>>1],now;
bool vis[N];
void init(){
    u[1]=1;now=0;
    for(LL i=2;i<N-9;i++){
        if(!vis[i]){
            pri[++now]=i;u[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=now&&i*pri[j]<N-9;j++){
            vis[i*pri[j]]=1;
            u[i*pri[j]]=-u[i];
            if(i%pri[j]==0){
                u[i*pri[j]]=0;
                break;
            }
        }
    }
    pre[0]=0;
    for(int i=1;i<N-9;i++)pre[i]=u[i]+pre[i-1];
}
unordered_map<LL,LL>M;
LL calculate(LL n){//杜教筛
    if(M.find(n)!=M.end())return M[n];
    if(n<N-9)return pre[n];
    LL ans=1;
    for(LL l=2,r;l<=n;l=r+1){
        r=n/(n/l);
        ans-=(r-l+1ll)*calculate(n/l);
    }
    return M[n]=ans;
}

bool judge(LL n){//判断u(n)是否直接=0
    for(int i=1;pri[i]*pri[i]<=n;i++){
        if(n%pri[i])continue;
        n/=pri[i];
        if(n%pri[i]==0)return false;
    }
    return true;
}

LL Ans(LL n,LL m){
    if(n==1)return calculate(m);
    if(m==0)return 0;
    if(!judge(n))return 0;
    LL d=-1;                           //之前定义为int RE了一上午，气死了
    for(int i=1;pri[i]*pri[i]<=n;i++)
        if(n%pri[i]==0){d=pri[i];break;}
    if(d==-1)d=n;
    return Ans(n,m/d)-Ans(n/d,m);
}

int main(){
    init();
    LL m,n;
    cin>>m>>n;
    if(!judge(n))return 0*printf("0\n");
    return 0*printf("%lld\n",Ans(n,m));
}