信号与系统：第一章

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第一章 信号与系统

连续时间信号与离散时间信号

定义

Continuous-Time Signal：用t表示，( )

Discrete-Time Signal：用n表示，[ ]，称为离散时间序列

Signal Energy and Power

1. instantaneous power 瞬时功率：$p(t) = |x(t)|^2$
2. total energy 总能量：
   
   • $E = \int_{t_1}^{t_2}p(t)dt$ （连续时间信号） $t_1 \le t \le t_2$
   • $E = \sum_{n = n_1}^{n_2}x^2[n]$ （离散时间信号） $n_1 \le n \le n_2$
   • $E_\infty = \int_{-\infty}^{+\infty}p(t)dt$ （连续时间信号） $-\infty < t < +\infty$
   • $E_\infty = \sum_{-\infty}^{+\infty}x^2[n]$ （离散时间信号） $-\infty < n< +\infty$
3. Time-averaged power 平均功率
   
   • $P_\infty = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T}|x(t)|^2dt$ 连续时间信号
   • $P_\infty = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N} \sum_{n = -N}^{N}|x[n]|^2$ 离散时间信号
4. 分类
   
   • 能量信号（Energy signal）：$E\infty < \infty, P_\infty = 0$ 能量有限
   • 功率信号（Power signal）：$P_\infty < \infty, E\infty \to \infty$
5. 总能量发散 $\Rightarrow E\infty \to \infty$
6. 平均功率不收敛 $\Rightarrow P_\infty \to \infty$

Transformation of the independent variable 自变量的变换

自变量变换

1. Time shift 时移

2. Time reversal 时间反转

3. Time scaling 尺度变换

   • 连续时间信号：$t\to at \Rightarrow x(t) \to x(at)$

   

4. 先左右移动，再反转，最后尺度变换（所乘系数的倒数）

周期信号 period signal

$x(t) = x(t + T)$，使该式成立的最小正值$T$称为基波周期（fundamental period）

偶信号和奇信号

1. odd signal $x(-t) = -x(t)$ $x[-n] = -x[n]$
2. even signal $x(-t) = x(t)$ $x[-n] = x[n]$
3. 任何信号都可以分解为奇信号和偶信号
   
   • 偶部：$Ev\{x(t)\} = \frac{1}{2}[x(t) + x(-t)]$
   • 奇部：$Od\{x(t)\} = \frac{1}{2}[x(t) - x(-t)]$

Exponential and Sinusoidal Signal 指数信号和正弦信号

​ 基本信号是整个信号与系统的重要概念，研究基本信号通过系统的响应，再以此为材料，研究复杂信号通过系统的响应。其他信号大部分可以通过基本信号来表示，且基本信号通过系统的响应容易分析，由此分析复杂信号通过系统的响应。研究两个重要的基本信号，两个单位的冲激信号通过系统的响应，建立连续/离散时间信号输入/输出的映射关系，进一步用复指数信号来表示其他信号，因此我们要知道基本信号在时域上的特征有所了解。

Continuous-Time Complex Exponential and Sinusoidal Signals 连续时间信号的复指数信号和正弦信号

$x(t) = C \cdot e^{st} -\infty < t < \infty$（s为复数）

当其作为时间函数时，$s$是确定的，但$s$的值将使信号表现出不同的特征

1. 当$s$为实数时，real exponential signals 实指数信号 $x(t) = C \cdot e^{at}$

2. 当$s$为纯虚数时，periodic complex exponential and sinusoidal signal 周期复指数信号和正弦信号

   $$x(t) = C \cdot e^{jw_0t}, -\infty<t<\infty, s = jw_0$$

（1）period 周期：

​ $e^{jw_0(t + T)} = e^{jw_0t}$

$\Rightarrow e^{jw_0T} = 1$

$\Rightarrow cosw_0T + jsinw_0T = 1$

$\Rightarrow w_0T = 2k\pi,k = 0,\pm1, \pm2,...$

因此，$T = \frac{2\pi k}{w_0}$

基波周期：$T_0 = \frac{2\pi}{|w_0|}$，$w_0$为基波频率（fundamental frequency）

（2）Euler’s relation 欧拉关系

$$e^{jw_0t} = cosw_0t + jsinw_0t$$

$$cosw_0t = \frac{1}{2}(e^{jw_0t} + e^{-jw_0t})$$

$$sinw_0t = \frac{1}{2j}(e^{jw_0t} - e^{-jw_0t})$$

（3）Average Power

$$E_{T_0} = \int_{0}^{T_0}|e^{jw_0t}|^2dt = T_0$$

$$E_\infty \to \infty$$

$$P_{T_0} = \frac{1}{T_0}E_{T_0} = 1$$

$$P_{\infty} = \lim_{T\to \infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{+T}|e^{jw_0t}|^2dt = 1$$

功率信号

（4）Harmonic relation 谐波关系

$e_{jw_0t} \to$ 基本信号

$\varnothing_k(t) = {e^{jkw_0t}}, k = 0,\pm1,\pm2, ...$

共同周期：$T_0 = \frac{2\pi}{|w_0|}$，$w_0$为基波周期

$k^{th}$ 谐波：$T_k = \frac{T_0}{|k|}, w_k = kw_0$

1. 一般复指数信号

$$x(t) = C \cdot e^{st}, s = \sigma + jw_0, C = |C|\cdot e^{j\theta}$$

$$x(t) = |C|\cdot e^{j\theta}\cdot e^{j(w_0t + \theta)}$$

离散时间下的复指数信号

$x[n] = C\cdot \alpha^n, -\infty<n<\infty$

$x[n] = C\cdot e^{\beta n}$，当$\alpha = e^\beta$时

1. 实指数信号：$\alpha = a \Rightarrow x[n] = C\cdot a^n$
2. 周期复指数信号和正弦信号：$\beta = jw \Rightarrow x[n] = e^{jw_0n}$
3. 一般复指数信号：

$x[n] = C\cdot \alpha^n, C = |C|\cdot e^{j\theta}, \alpha = |\alpha|\cdot e^{jw_0}, \therefore x[n] = |C||\alpha|\cdot e^{j(w_0n + \theta)}$

离散时间复指数序列的周期性质

1. $e^{j(w_0n + 2\pi n)} = e^{jw_0n}\cdot e^{j2\pi n} = e^{jw_0n}$，$w_0$变化$2k\pi$时信号相同，$w_0 \in [0,2\pi )$

2. $e^{jw_0t} = cosw_0n + jsinw_0n$

   $w_0 = 2k\pi$，信号频率低；$w_0 = (2k+1)\pi$，信号频率高

3. 周期特点：$\frac{w_0}{2\pi} = \frac{k}{N} \to$ 有理数；$N = \frac{2\pi}{w} \cdot k$，基波周期

$e^{jw_0t}$	$e^{jw_0n}$
$w_0$不同，信号不同	$w_0$相差$2k\pi$，信号相同
$w_0$越大，频率越高	$w_0 = 2k\pi$，低频；$w_0 = (2k+1)\pi$，高频
周期信号	当$\frac{w_0}{2\pi}$有理时，为周期信号

4. 对于成谐波关系的信号$\varnothing_k[n] = {e^{jkw_0n}}, k = 0,\pm1,\pm2,...$，在这组信号中，互不相同的信号只有N组

The Unit Impulse and Unit Step Function 单位冲激信号和单位阶跃信号

The Discrete-Time Unit Impulse and Unit Step Sequences 离散时间信号的单位脉冲和单位阶跃序列

Unit Impulse：$\delta[n] = \begin{cases} 1&n = 0 \\0&n\ne 0\end{cases}$

Unit Step：$u[n] = \begin{cases} 1&n \ge 0 \\0&n < 0\end{cases}$

1. 取样特性 Sampling property

$x[n]\delta[n] = x[0]\delta[n]$

$x[n]\delta[n - k] = x[k]\delta[n-k]$

$\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[n]\delta[n - k] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]\delta[n-k]$

$\because \sum_{k = -\infty}^{\infty} \delta[n-k] = 1 \Rightarrow x[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]\delta[n-k]$（单位冲激信号的筛选特性）

$u[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}u[k]\delta[n-k] = \sum_{k =0 }^{+\infty}u[k]\delta[n-k]= \sum_{k =0 }^{+\infty}\delta[n-k]$

​ $\Rightarrow u[n] = \sum_{m=-\infty}^{n}\delta[m]$

$\delta[n] = u[n] - u[n-1]$

连续时间的单位阶跃和单位冲激函数

1. 单位阶跃函数$u(t) = \begin{cases}1&t>0 \\0 & t < 0\end{cases}$
2. 单位冲激信号
   
   • $\delta(t) = \frac{du(t)}{dt}, u(t) = \int_{-\infty}^t\delta(\tau)d\tau$
   • $\delta(t) =\begin{cases}0&t\ne 0 \\\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)dt = 1 & t = 0\end{cases}, \int_{0^-}^{0^+}\delta(t)dt = 1$
   • 在第二章引入卷积积分的严密定义
   • 如果$s(t)$是偶信号，$\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)dt = 1 \Rightarrow \delta(t) = \lim_{k\to \infty}k \cdot s(kt)$

The property of Unit Impulse Function

1. Sampling and Sifting properties

   • $f(t)\delta(t)=f(0)\delta(t)$，冲激值变为f(0)，采样特性

   • $\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cdot \delta(t)dt = f(0)$，筛选特性

     注意，采样特性得到的是冲激，筛选特性得到的是常数

     $\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta(t)dt = \int_{0^-}^{0_+}f(t)\delta(t)dt = f(0)\int_{0^-}^{0_+}\delta(t)dt = f(0)$

     $\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(t)f(t)\delta(t) dt=f(0)\varphi(0)$

   • 推广：

     • $f(t)\delta(t-t_0) = f(t_0)\cdot \delta(t-t_0)$
     • $\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta(t-t_0) dt = f(t_0)$

2. Scaling property

   如果$a$是实数，$a\ne 0$，$\delta(at) = \frac{1}{|a|}\delta(t)$，改变冲激的强度

   特别的，当$a \ne -1$时，$\delta(-t) = \delta(t)$，偶函数

Continuous-Time and discrete-time system 连续时间和离散时间系统

简单系统举例

串联 series interconnection

级联 cascade interconnection $\oplus$表示相加

反馈互联 feedback interconnection

Basic System Properties 基本系统性质

System with and without Memory 记忆系统与无记忆系统

• 无记忆系统：一个系统的输入仅仅取决于该时刻的输入
• 有记忆系统：一个系统的输入取决于以前的输入或以后的输入
• $y(t) = x(t)\to$无记忆系统，恒等系统（identity system）
• $y[n] = \sum_{k=-\infty}^{n}x[k]\to$有记忆系统，累加器（accumulator）或相加器（summer）
• $y[n] = x[n-1]\to$有记忆系统，延迟单元（delay）

Invertibility and Inverse System 可逆系统与不可逆系统

一一对应

Causality 因果性

因果系统：一个系统在任何时刻的输入只取决于现在的输入和过去的输入，该系统就称为因果系统

无记忆系统 $\subset$ 因果系统

Stability 稳定性

稳定系统：有界的输入对应有界的输出 $|x(t)| < M \Rightarrow |y(t)| < B$

eg：$y(t) = tx(t)$不稳定，若对于$\forall t, x(t) = A, A$为常数，那么$y(t) \to \infty$

Time Invariance 时不变性

输入时移，输出时移，形状不发生改变

$y(t) = L\{x(t)\} \Rightarrow L\{x(t-t_0)\}=y(t-t_0)$

eg：

$y(t) = sin[x(t)]$

$y_1(t) = sin[x_1(t)]$

$x_2(t) = x_1(t-t_0)$

$y_2(t) = sin[x_2(t)] = sin[x_1(t-t_0)] = y_1(t-t_1)$，时不变系统

eg：

$y(t) = x(2t)$

$y_1(t) = x_1(2t)$

$x_2(t) = x_1(t-t_0)$

$y_2(t) = x_2(2t) = x_1(2t - t_0) \ne y_1(t-t_0)$，时变系统

Linearity 线性

1. Additivity 可加性

$\begin{cases}f_1(t)\to y_1(t)\\f_2(t)\to y_2(t)\end{cases} \Rightarrow f_1(t) + f_2(t) \to y_1(t) + y_2(t)$

1. Scaling 比例性 或 Homogeneous 齐次性

$f(t) \to y(t) \Rightarrow af(t) \to ay(t)$

$af_1(t) + bf_2(t) \to ay_1(t) + by_2(t)$

eg：

$y(t) = tx(t)$

$y_1(t) = tx_1(t)$

$y_2(t) = tx_2(t)$

$x(t) = Ax_1(t) + Bx_2(t)$

$y(t) = tAx_1(t) + tBx_2(t) = ty_1(t) + ty_2(t)$，线性的

• 增量线性系统（incrementally linear system）：一个系统的总输入由一个线性系统的响应与一个零输入响应（如$y_0[n] = 3$）的叠加组成