P2308 添加括号-动态规划，区间dp，前缀和，dfs

给定一个正整数序列a(1)，a(2)，...，a(n),(1<=n<=20)

不改变序列中每个元素在序列中的位置，把它们相加，并用括号记每次加法所得的和，称为中间和。

例如:

给出序列是4，1，2，3。

第一种添括号方法:

((4+1)+(2+3))=((5)+(5))=(10)

有三个中间和是5，5，10，它们之和为:5+5+10=20

第二种添括号方法

(4+((1+2)+3))=(4+((3)+3))=(4+(6))=(10)

中间和是3，6，10，它们之和为19。

现在要添上n-1对括号，加法运算依括号顺序进行，得到n-1个中间和，求出使中间和之和最小的添括号方法。

https://www.luogu.org/problemnew/show/P2308

动态规划部分比较好想，还是区间dp，类似石子合并，要预处理出前缀和；

套路：枚举长度，枚举左端点，求出右端点，枚举断点；

用ans[i][j]数组记录区间i,j选择的断点是哪一个，断点一定是“）（”这样的；

这题的难点就在于加括号；

用类似dfs的方法记录每个数字左侧和右侧需要加的括号数量；

再dfs一边输出前缀和；

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[201],f[201][201],sum[201],ans[201][201],la[201],ra[201];
int n;
void solve(int l,int r)
{
    if(l==r) return;
    ++la[l];
    ++ra[r];
    solve(l,ans[l][r]);
    solve(ans[l][r]+1,r);
}
void work(int l,int r)
{
    if(l==r) return;
    work(l,ans[l][r]);
    work(ans[l][r]+1,r);
    cout<<sum[r]-sum[l-1]<<" ";
}
int main()
{
    cin>>n;
    memset(f,127/3,sizeof(f));
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];f[i][i]=0;
        sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    }
    for(int l=2;l<=n;l++){
        for(int i=1;i<=n-l+1;i++){
            int j=i+l-1;
            for(int k=i;k<=j;k++){
                if(f[i][k]+f[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]<=f[i][j]){//<=
                    f[i][j]=f[i][k]+f[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1];
                    ans[i][j]=k;
                }
                
            }
        }
    }
    solve(1,n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=la[i];j++){
            cout<<"(";
        }
        cout<<a[i];
        for(int j=1;j<=ra[i];j++){
            cout<<")";
        }
        if(i!=n) cout<<"+";
    }
    cout<<endl;
    cout<<f[1][n]<<endl;
    work(1,n);
    return 0;
}

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