单叶双曲面母直线参数的几何意义

我们已知单叶双曲面的方程如下

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$$
两族母直线分别为
$$\begin{cases} \frac{x}{a}+\frac{z}{c}=v(1+\frac{y}{b}) \\ 1-\frac{y}{b}=v(\frac{x}{a}-\frac{z}{c})， \text{$v$为参数} \end{cases} \tag{1}$$
和
$$\begin{cases} \frac{x}{a}+\frac{z}{c}=\mu(1-\frac{y}{b}) \\ 1+\frac{y}{b}=\mu(\frac{x}{a}-\frac{z}{c})， \text{$\mu$为参数} \end{cases}$$
下面我们开始探究母直线族中参数 $v$的几何意义,以（1）为例

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令$z=0$(考察$Oxy$平面对曲面的截面），得到

$$\begin{cases} \frac{x}{a}=v(1+\frac{y}{b}) \\ 1-\frac{y}{b}=v\cdot\frac{x}{a}， \text{$v$为参数} \end{cases} \tag{1}$$
解出 $x$、 $y$：
$$\begin{cases} x=a\cdot\frac{2v}{1+v^2} \\ y=b\cdot\frac{1-v^2}{1+v^2} \\ \end{cases}$$
这种形式启发我们进行代换： $v=tan\frac{\theta}{2}$，进行简单的运算得到

$$\begin{cases} x=a\cdot cos\theta \\ y=b\cdot sin\theta \\ \end{cases}$$
注意到这是双曲面被Oxy平面所截的截面方程， $\theta$为椭圆截面的离心角，由此得出结论

$v$为母直线与截面椭圆相交点半离心角的正切值

（关于$\mu$的结论类似，只是和$v$的结果在y处差一个负号）