[BZOJ4652/UOJ#221][NOI2016]循环之美（莫比乌斯反演+杜教筛）

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https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4652
http://uoj.ac/problem/221

Solution……

一、 $O(nm)$

我们知道， $k$ 进制小数 $0.0000000...10000000..10000000..1...$ （循环节为 $x-1$ 个 $0$ 和 $1$ 个 $1$）等于 $\frac 1{k^x-1}$ 。
于是，乱搞一下， $\gcd(x,y)=1$ 时 $\frac xy$ 纯循环当且仅当存在一个 $z>0$ 满足 $y|k^z-1$ 。
于是：

$$k^z\equiv1(\bmod y)$$
如果 $\gcd(k,y)\ne 1$ 则易得上面的方程无解。否则根据欧拉定理，一个合法解是 $z=\phi(y)$ 。
于是，我们要求的答案为：
$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[\gcd(i,j)=1][\gcd(j,k)=1]$$

二、反演

上式 $=$

$$\sum_{j=1}^m[\gcd(j,k)=1]\sum_{i=1}^n[\gcd(i,j)=1]$$
$$=\sum_{j=1}^m[\gcd(j,k)=1]\sum_{i=1}^n\sum_{d|\gcd(i,j)}\mu(d)$$
$$=\sum_d\mu(d)\lfloor\frac nd\rfloor\sum_{j=1,d|j}^m[\gcd(j,k)=1]$$
$$=\sum_d\mu(d)\lfloor\frac nd\rfloor\sum_{j=1}^{\lfloor\frac md\rfloor}[\gcd(jd,k)=1]$$
$$=\sum_{d=1}^{\min(n,m)}[\gcd(d,k)=1]\mu(d)\lfloor\frac nd\rfloor\sum_{j=1}^{\lfloor\frac md\rfloor}[\gcd(j,k)=1]$$
对 $d$ 下界分块即可。
可以考虑求：
$$f(n)=\sum_{i=1}^n[\gcd(i,k)=1]$$
使得该式变为：
$$ans=\sum_{d=1}^{\min(n,m)}[\gcd(d,k)=1]\mu(d)\lfloor\frac nd\rfloor f(\lfloor\frac md\rfloor)$$
由于 $\lfloor\frac nd\rfloor$ 的取值只有 $O(\sqrt n)$ 种， $\lfloor\frac md\rfloor$ 的取值只有 $O(\sqrt m)$ 种，故可对 $d$ 下界分块，需要求出 $[\gcd(d,k)=1]\mu(d)$ 的前缀和：
$$g(n,k)=\sum_{i=1}^n[\gcd(i,k)=1]\mu(i)$$

三、解决掉 $f$

我们知道，$\gcd(a,b)=\gcd(a+k\times b,b)$ 。
于是：

$$f(n)=\lfloor\frac nk\rfloor\phi(k)+\sum_{i=1}^{n\bmod k}[\gcd(i,k)=1]$$
预处理出 $cnt[i]$ 表示 $[1,i]$ 中与 $k$ 互质的数的个数之后，就可以 $O(1)$ 求 $f$ 。

四、解决掉 $g$

考虑再反演一次：

$$g(n,k)=\sum_{d|k}\mu(d)\sum_{i=1,d|i}^n\mu(i)$$
$$=\sum_{d|k}\mu(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}\mu(id)$$
众所周知， $\mu$ 是个积性函数，且有：
$$\mu(ab)=\begin{cases}mu(a)\times mu(b)&\gcd(a,b)=1\\0&\gcd(a,b)\ne 1\end{cases}$$
故：
$$g(n,k)=\sum_{d|k}\mu(d)^2\sum_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}[\gcd(i,d)=1]\mu(i)=\sum_{d|k}\mu(d)^2g(\lfloor\frac nd\rfloor,d)$$
我们得到 $g(n,k)$ 的递推式，可用记忆化搜索求得。
特别地，由于任意都与 $1$ 互质，故 $g(n,1)=\sum_{i=1}^n\mu(i)$ 。故当 $k=1$ 时杜教筛即可。

Code

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define Edge(u) for (int e = adj[u]; e; e = nxt[e])
#define For(i, a, b) for (i = a; i <= b; i++)
#define Step(i, a, b, x) for (i = a; i <= b; i += x)
#define Mobius(i, a, b) for (i = a; i <= b;)
using namespace std;

typedef long long ll;
const int MaxN = 1e6, N = MaxN + 5, MaxM = 2000, M = MaxM + 5, E = 41,
ZZQ = 19260817, L = 2e7 + 5, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m, k, tot, pri[N], miu[N], sum[N], divis[M][M], ums[M],
ecnt, nxt[L], adj[ZZQ], gon[L], gok[L], val[L];
bool mark[N];
ll ans;

template <class T>
T Min(T a, T b) {return a < b ? a : b;}

void ins(int n, int x, int f)
{
    int u = (1ll * (n - 1) * k + x) % ZZQ;
    nxt[++ecnt] = adj[u]; adj[u] = ecnt;
    gon[ecnt] = n; gok[ecnt] = x; val[ecnt] = f;
}

int query(int n, int x)
{
    int u = (1ll * (n - 1) * k + x) % ZZQ;
    Edge(u) if (gon[e] == n && gok[e] == x)
        return val[e];
    return INF;
}

void sieve()
{
    int i, j;
    mark[0] = mark[miu[1] = 1] = 1;
    For (i, 2, MaxN)
    {
        if (!mark[i]) miu[pri[++tot] = i] = -1;
        For (j, 1, tot)
        {
            if (1ll * i * pri[j] > MaxN) break;
            mark[i * pri[j]] = 1;
            if (i % pri[j] == 0) break;
            else miu[i * pri[j]] = -miu[i];
        }
    }
    For (i, 1, MaxN) sum[i] = sum[i - 1] + miu[i];
    For (i, 1, MaxM) Step (j, i, MaxM, i)
        divis[j][++divis[j][0]] = i;
    For (i, 1, MaxM) ums[i] = ums[i - 1] + (__gcd(i, k) == 1);
}

int f(int n)
{
    return (n / k) * ums[k] + ums[n % k];
}

int mmp;

int S(int n, int k)
{
    int i, res;
    if (n <= 1) return ins(n, k, n), n;
    if ((res = query(n, k)) < INF) return res;
    res = 0;
    if (k == 1)
    {
        if (n <= MaxN) return sum[n];
        res = 1;
        Mobius (i, 2, n)
        {
            int nxt = n / (n / i);
            res -= (nxt - i + 1) * S(n / i, k);
            i = nxt + 1;
        }
        return ins(n, k, res), res;
    }
    For (i, 1, divis[k][0])
    {
        int x = divis[k][i];
        if (miu[x] != 0) res += S(n / x, x);
    }
    return ins(n, k, res), res;
}

int main()
{
    int i;
    cin >> n >> m >> k;
    sieve();
    Mobius (i, 1, Min(n, m))
    {
        int nxt = Min(n / (n / i), m / (m / i));
        ans += 1ll * (n / i) * f(m / i) * (S(nxt, k) - S(i - 1, k));
        i = nxt + 1;
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}