【SNOI2017】炸弹——并查集解法

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【SNOI2017】 炸弹

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Description
在一条直线上有 N 个炸弹，每个炸弹的坐标是 Xi，爆炸半径是 Ri，当一个炸弹爆炸时，如果另一个炸弹所在位置 Xj 满足：
Xi−Ri≤Xj≤Xi+Ri,那么，该炸弹也会被引爆。
现在，请你帮忙计算一下，先把第 i 个炸弹引爆，将引爆多少个炸弹呢？
Input
第一行，一个数字 N，表示炸弹个数。
第 $2∼N+1$行，每行 2 个数字，表示 $Xi，Ri，$保证 $Xi$ 严格递增。
$N≤500000$
$−10^{18}≤Xi≤10^{18}$
$0≤Ri≤2×10^{18}$
Output
一个数字，表示 $\sum _i ^n i*[炸弹i能引爆的炸弹个数],1\leq i\leq N$
输出答案 $mod 10^9+7$。
Sample Input
4
1 1
5 1
6 5
15 15
Sample Output
32

显然的标准解法 ： 线段树优化建图+Tarjan+拓扑排序+DP
时间复杂度 $O(nlogn)$
常见的错误解法 ： 扫两遍，同时维护左右的最远值
时间复杂度 $O(n)$
给出一组来自LOJ的hack

5
1 0
30 100
50 20
90 0
100 0
ans : 35
output :29

常见的错解会输出29。。。
如果不能肯定的话可以提交一下LOJ。

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以上是网上的常见解法(但是正解速度总是被错解吊打)。
我们发现，解法一的时间瓶颈在于线段树优化建图上，其余部分都是 $O(n)$的。
这道题有没有什么更好的方法呢？
并查集！
对于点 $i$，如果我们能够连向点 $i-1$，那么点 $i$能够到达的左边界就至少是点 $i-1$的左边界。
将当前点并到能够到达的最远点上。
向右的操作同理。
接下来，我们对当前图进行Tarjan缩点。
本来应该做的事情是统计DAG中的可达点数，好像只能够bitset解决。
但是由于这张图的特殊性质，我们发现：一个联通块的点一定是连续的一段区间。
所以我们直接用并查集合并size

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#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int Maxn=500005;
const int mod=1e9+7;
typedef long long ll;
inline ll read() {
	char c; ll rec=0,f=0;
	while((c=getchar())<'0'||c>'9') f|=c=='-';
	while(c>='0'&&c<='9') rec=rec*10+c-'0',c=getchar();
	return f?-rec:rec;
}
ll ans=0;
int n,fa[Maxn];
inline int getfa(int x) {return x==fa[x]?x:fa[x]=getfa(fa[x]);}
struct node {ll x,r;} b[Maxn];
struct Branch {int next,to;} branch[Maxn<<2];
int h[Maxn],cnt=0;
inline void add(int x,int y) {
	branch[++cnt].to=y; branch[cnt].next=h[x]; h[x]=cnt; return ;
}
int Scc=0,bl[Maxn],size[Maxn],val[Maxn];
int dfn[Maxn],low[Maxn],ind=0;
int S[Maxn],vis[Maxn],top=0;
inline void Tarjan(int v) {
	dfn[v]=low[v]=++ind;
	S[++top]=v; vis[v]=1;
	for(int i=h[v];i;i=branch[i].next) {
		int j=branch[i].to;
		if(!dfn[j]) Tarjan(j),low[v]=min(low[v],low[j]);
		else if(vis[j]) low[v]=min(low[v],dfn[j]);
	}
	if(dfn[v]==low[v]) {
		int p=0; ++Scc;
		while(p!=v) {
			p=S[top--],vis[p]=0,bl[p]=Scc;
			++size[Scc]; val[Scc]=(val[Scc]+p)%mod;
		}
	} return ;
}// Tarjan
struct Edge {int next,to;} edge[Maxn<<2]; 
int e[Maxn],idx=0;
inline void Add(int x,int y) {
	edge[++idx].to=y; edge[idx].next=e[x]; e[x]=idx; return ;
}// 重构图 
void Count(int v) {
	if(vis[v]) return ;
	for(int i=e[v];i;i=edge[i].next){
		int j=edge[i].to;
		int f1=getfa(v),f2=getfa(j);
		if(f1^f2){
			fa[f2]=f1;
			size[f1]+=size[f2];
		}
	} vis[v]=1;
	return ;
} // Tarjan 合并统计size 
int main() {
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;++i) b[i]=(node){read(),read()};
	for(int i=1;i<=n;++i) fa[i]=i;
	for(int i=2;i<=n;++i) {
		int p=i-1;
		while(p) {
			if(b[i].x-b[i].r<=b[p].x) {
				add(i,p);
				fa[getfa(i)]=getfa(p);
				p=getfa(i)-1;
			}
			else break;
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;++i) fa[i]=i;
	for(int i=n-1;i;--i) {
		int p=i+1;
		while(p<=n) {
			if(b[i].x+b[i].r>=b[p].x) {
				add(i,p);
				fa[getfa(i)]=getfa(p);
				p=getfa(i)+1;
			}
			else break;
		}
	}
	// 分别向左和向右合并 
	for(int i=1;i<=n;++i) if(!dfn[i]) Tarjan(i);
	for(int v=1;v<=n;++v) {
		for(int i=h[v];i;i=branch[i].next) {
			int j=branch[i].to;
			if(bl[v]!=bl[j]) Add(bl[v],bl[j]);
		}
	}
	for(int i=1;i<=Scc;++i) fa[i]=i;
	for(int i=1;i<=Scc;++i) Count(i),ans=(ans+1ll*val[i]*size[i]%mod)%mod;
	cout<<ans;
	// 统计答案并输出 
}