机器学习公开课-笔记2-线性回归、梯度下降和正规方程组

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回归分析： 是研究一个变量关于另一个(或一些)变量的具体依赖关系的计算方法和理论。
一些符号：

m: 训练数据的大小
x: 输入变量，是向量
y: 输出变量，是实数
(x,y): 一个训练实例
$x^{(i)},y^{(i)}$ : 第i个训练集，i是上标而不是指数
假设训练集中的数据使用线性回归解决，则假设函数为：

$$\begin{align} h_\theta(x) = \sum_{i=0}^{n}\theta_{i}x_{i}=\theta^{T}x \tag{1} \end{align}$$
这里x是向量，n是x的长度(输入变量个数)
从而，定义目标函数(即要优化的函数)：
$$\begin{align} J(\theta) = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})^{2} \tag{2} \end{align}$$
m为样本个数，我们找出使这个函数最小的参数值，就的到了拟合训练的最佳参数。
使用梯度下降法来求参数，更新规则为：
$$\begin{align} \theta_j:=\theta_j-\alpha\frac{\partial}{\partial\theta_j}J(\theta) \tag{3} \end{align}$$
当只有一个训练实例时，上式变为：
$$\begin{align} \theta_j:=\theta_j-\alpha(h_{\theta}(x) -y)x_{j} \tag{4} \end{align}$$
这被称为最小二乘法(LMS, least mean squares)，也被称为Widrow-Hoff学习规则。
考虑所有m个训练集，规则变为：
$$\begin{align} \theta_j:=\theta_j-\alpha\sum_{i=0}^{m}(h_{\theta}(x^{(i)}) -y^{(i)})x_{j}^{(i)} \tag{5} \end{align}$$
运用这个规则直到收敛，就是批梯度下降算法(batch gradient descent)。其中，收敛的判断有两种，一是判断两次迭代后参数的变化，二是判断两次迭代后目标函数的变化，规则中的 $\alpha$是学习速率，这个需要在实践中进行调整，其值过小会导致迭代多次才能收敛，其值过大会导致越过最优点发生震荡现象。
梯度下降算法会导致局部极值点的产生，解决这个问题的方法是随机进行初始化，寻找多个最优点，然后在这些最优点中找最终结果。
对于公式5，当数据量较大时，每迭代一次就要遍历全部数据一次，这样算法运行速度会很慢，为解决这个问题，一般采用如下办法：

$$\begin{align*} Repeat \quad Until \quad Converge \{ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\ For \quad i = 1 \quad to \quad m \{ { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\ \theta_j:=\theta_j-\alpha(h_{\theta}(x^{(i)}) -y^{(i)})x_{j}^{(i)} } \qquad (for \quad every \quad j ) \\ \} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\ \} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \end{align*}$$

意为更新参数时，不必遍历整个数据集，只需要一个实例便足够了。该算法可以达到很高的效果，但是会导致遍历次数增多，不能精确收敛到最优值等问题。该方法被称为增量梯度下降(incremental gradient descent)或随机梯度下降(stochastic gradient descent)。

梯度下降算法是求目标函数最优值的一种解法。我们可以直接求出参数值而不用迭代方法，这种方法称为正规方程法。