洛谷 P3159 [CQOI2012]交换棋子费用流

题目描述

有一个n行m列的黑白棋盘，你每次可以交换两个相邻格子（相邻是指有公共边或公共顶点）中的棋子，最终达到目标状态。要求第i行第j列的格子只能参与mi,j次交换。

输入输出格式

输入格式：
第一行包含两个整数n，m（1<=n, m<=20）。以下n行为初始状态，每行为一个包含m个字符的01串，其中0表示黑色棋子，1表示白色棋子。以下n行为目标状态，格式同初始状态。以下n行每行为一个包含m个0~9数字的字符串，表示每个格子参与交换的次数上限。

输出格式：
输出仅一行，为最小交换总次数。如果无解，输出-1。

输入输出样例

输入样例#1：
3 3
110
000
001
000
110
100
222
222
222
输出样例#1：
4

分析：
我们只考虑黑色棋子。交换两个相同颜色的棋子没有影响，交换不同颜色的棋子相当于移动黑色的棋子。可以知道，一个棋子从 $i$ 移动到 $j$ ，只有起点和终点的格子进行一次交换，而其他点进行了两次交换。
我们把一个点拆成三个，分别为 $left,now,right$ 。
$(u,v,w,c)$ 表示一条从 $u$ 到 $v$ 的流量为 $w$ ，费用为 $c$ 的边。
对于一条连接 $now(i)$ 连向 $right(i)$ 的边，表示一条从 $i$ 连出去的路径；一条 $left(i)$ 向 $now(i)$ ，表示一条走向 $i$ 的路径。

如果某个点原来是白色，后来变为黑色，则这个点是某一条路径的终点，也就是有一次只进行一次交换。
连一条 $(left,now,(k+1)/2,1)$ 和一条 $(now,right,k/2,1)$ 的边。
同理，原理是黑色的，后来变为白色的，
连一条 $(left,now,k/2,1)$ 和一条 $(now,right,(k+1)/2,1)$ 的边。
相同颜色的，
连一条 $(left,now,k/2,1)$ 和一条 $(now,right,k/2,1)$ 的边。
对于原图每个黑点，连一条 $(s,now,1,0)$ 的边；对于后面的每个黑点，连一条 $(now,t,1,0)$ 的边；对于相邻的两个点 $(i,j)$ 连一条 $(right(i),left(j),inf,0)$ 的边。跑出来的费用就是每个点出边数和入边数的总和，由于每一次交换包含一条入边和一条出边，给这个除2就是答案。
如果前后黑点数不同或者最大流量小于黑点数，则无解。

代码：

// luogu-judger-enable-o2
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <queue>

const int maxn=2007;
const int maxe=1e5+7;
const int dx[8]={0,0,-1,1,1,1,-1,-1};
const int dy[8]={1,-1,0,0,1,-1,1,-1};
const int inf=0x3f3f3f3f;

using namespace std;

int n,m,sum,s,t,ans,cnt,maxflow,sum1,sum2;
int ls[maxn],dis[maxn],pre[maxn],vis[maxn];
int a[30][30],b[30][30];
char ch[107];

struct edge{
    int x,y,w,c,op,next;
}g[maxe];

queue <int> q;

int po(int x,int y)
{
    return (x-1)*m+y;
}

void add(int x,int y,int w,int c)
{
    g[++cnt]=(edge){x,y,w,c,cnt+1,ls[x]};
    ls[x]=cnt;
    g[++cnt]=(edge){y,x,0,-c,cnt-1,ls[y]};
    ls[y]=cnt;
}

bool spfa()
{
    for (int i=s;i<=t;i++) dis[i]=inf;
    q.push(s);
    dis[s]=0;
    vis[s]=1;
    while (!q.empty())
    {
        int x=q.front();
        q.pop();
        for (int i=ls[x];i>0;i=g[i].next)
        {
            int y=g[i].y;
            if ((g[i].w) && (dis[y]>dis[x]+g[i].c))
            {
                dis[y]=dis[x]+g[i].c;
                pre[y]=i;
                if (!vis[y])
                {
                    vis[y]=1;
                    q.push(y);
                }
            }
        }
        vis[x]=0;
    }
    return (dis[t]!=inf);
}

void mcf()
{
    int flow=inf,i=t;
    while (pre[i])
    {
        flow=min(flow,g[pre[i]].w);
        i=g[pre[i]].x;
    }
    maxflow+=flow;
    i=t;
    while (pre[i])
    {
        g[pre[i]].w-=flow;
        g[g[pre[i]].op].w+=flow;
        ans+=g[pre[i]].c*flow;
        i=g[pre[i]].x;
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    s=0,t=n*m*3+1;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%s",ch);
        for (int j=1;j<=m;j++)
        {
            a[i][j]=(ch[j-1]=='1');
            if (ch[j-1]=='1') add(s,n*m+po(i,j),1,0),sum1++;
        }
    }
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%s",ch);
        for (int j=1;j<=m;j++)
        {
            b[i][j]=(ch[j-1]=='1');
            if (ch[j-1]=='1') add(n*m+po(i,j),t,1,0),sum2++;
        }
    }
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%s",ch);
        for (int j=1;j<=m;j++)
        {
            int c=ch[j-1]-'0';
            if (a[i][j]==b[i][j])
            {
                add(po(i,j),n*m+po(i,j),c/2,1);
                add(n*m+po(i,j),n*m*2+po(i,j),c/2,1);
            }
            else
            {
                if (a[i][j]==1)
                {
                    add(po(i,j),n*m+po(i,j),c/2,1);
                    add(n*m+po(i,j),n*m*2+po(i,j),(c+1)/2,1);
                }
                else
                {
                    add(po(i,j),n*m+po(i,j),(c+1)/2,1);
                    add(n*m+po(i,j),n*m*2+po(i,j),c/2,1);
                }
            }
        }
    }
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        for (int j=1;j<=m;j++)
        {
            for (int k=0;k<8;k++)
            {
                int x=i+dx[k],y=j+dy[k];
                if ((x>0) && (y>0) && (x<=n) && (y<=m))
                {
                    add(n*m*2+po(i,j),po(x,y),inf,0);
                }
            }
        }
    }   
    while (spfa()) mcf();
    if (maxflow!=max(sum1,sum2)) printf("-1");
                            else printf("%d",ans/2);
}

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