金融数学笔记Chapter01

导论

一、金融数学

金融数学也叫数理金融，数学金融。两次华尔街革命产生了一门新兴的学科，即金融数学（Financial Mathematics），也叫数理金融。

两次华尔街革命
第一次华尔街革命是马科维茨资产组合理论；第二次华尔街革命是Black-Scholes期权定价公式

• 金融数学是金融学自身发展而衍生出来的一个新的分支，是数学与金融学相结合而产生的一门新的学科。
• 数学：研究现实世界的空间形式和数量关系的科学
• 金融学：研究运作“金钱”事务的科学
• 金融数学：运用数学工具啦定量研究金融问题的一门学科
• 金融工程：金融工程是指一切利用工程化手段来解决金融问题的技术开发，它不仅仅包括金融产品设计，还包括金融产品定价、交易策略设计、金融风险管理等各个方面。

金融工程与金融数学没有太多的区别。金融学中的风向管理以定性为主，也会涉及到数学的方法，在金融工程中，要把金融产品和金融风险管理相结合。

涉及到的三个方面：

• 设计金融产品
• 对设计出来的产品进行定价
• 对金融产品进行管理

金融数学的内容

金融数学研究的中心问题时风险资产（包括衍生金童产品和金融工具）的定价和最优投资策略的选择，他的主要理论有：资本资产定价模型，套利定价理论，期权定价理论及动态投资组合理论。

金融数学主要内容：资产定价、风险管理

核心：期权定价理论

结论：金融数学研究的主要内容：资产定价和风险管理。

金融数学的研究工具

金融数学的主要工具是随机分析和数理统计（非线性时间序列）。做金融数学要学好随机分析。学好随机分析先要学随机过程。随机分析和数理统计侧重点不同。概率论是数理统计的基础，数理统计是概率论的应用。随机分析侧重于理论的推导。模型建立后要靠数理统计进行参数估计。金融市场是一个高度复杂的系统。复杂的系统一般都是非线性的。

金融数学的研究方法：

• 规范金融数学
• 实证金融数学

规范金融数学：强调运用高等数学、最优化、概率论、微分方程等知识对金融原理进行推导。例如华尔街革命。

实证金融数学：强调运用统计学、计量经济学、时间序列分析等知识对金融原理进行假设检验，并得出一些经验结论。例如：资产定价模型的检验、行为金融学的检验。

二、金融数学的发展历程

金融数学大致可分为三个时期：

时期	代表人物
第一个时期：发展初期	K.Arrow、G.Debreu、J.Lintner、H.M.Markowitz、w.Sharp、F.Modigliani
第二个时期(黄金时期)：1969-1979	R.Merton、F.Black、M.Scholes、J.Cox、S.Ross、M.Rubinstein、S.Lekoy
第三个时期：1980至今	D.Duffie、I.Karatzas、J.Cox、C.F.Huang

早在1900年，法国人Louis Bachelier就在一篇关于金融投机的论文中，已经开始利用随机过程工具探索那时尚无实物的金融衍生资产定价问题，但他的论文并未得到人们的重视。

Ross（1976a）提出与CAPM竞争的套利定价理论(APT)。20世纪70年代最具革命性意义的事情无疑当数Black和Scholes（1973）推导出简单的期权定价公式，以及Merton（1973b）对该定价公式的发展和深化。

Harrison和Kreps（1979）发展了证券定价鞅理论（theory of martingale pricing.),这个理论在目前仍是金融研究的前沿课题。（另外一条线是偏微分方程的方法。）

第三个阶段虽然成果频出，但真正发展的阶段还是在于第二个阶段。

1980年代以后，资产定价理论和不完全信息金融市场分析继续发展。

金融数学两条路线：鞅理论和偏微分方程。

金融数学在我国的发展

我国的金融数学研究开始于1993年，其标志是1993年初彭实戈作出的关于“倒向随机微分方程研究及其在金融中的应用”的报告。

彭实戈，生于1947年12月8日，三项重要研究成果：“倒向随机微分方程”、“非线性Feynman-kac公式”和“随机最有控制一般最大化原理”；1984年4月，彭实戈与法国教授Pardoux一起开创了“倒向随机微分方程”的新方向。

国内在金融数学领域知名人物：

彭实戈
姜礼尚
宋逢明
史树中
金治明,国防科技大学，教授
三个科技文献检索：SCI、EI、ISTP

金融数学领域国内较厉害的高校：北大、南开、复旦、西南财大、西交利物浦大学

金融数学：美国、香港、加拿大

金融数学：金融+数学+计算机

参考书：

1.Y.-K.Kwok.Mathematical models of financial derivatives.(Second Edition).Springer,2010
2.Stampfli,Goodman,The Mathematics of Finance:Modeling and Hedging.机械出版社，2003年。
3.张寄洲译.金融数学教程，人们邮电出版社，2006.
4.冉启康译.数理金融初步，机械工业出版社，2013.
5.郑振龙，陈蓉.金融工程，第三版.高等教育出版社，2014
6.约翰.赫尔（John C.Hull）.期权、期货和其他衍生产品，第10版，清华大学出版社。

三、金融数学的结构框架

金融数学结构框架

第一章

第一节 微积分在数理金融中的应用

一、指数和对数函数的应用

(一) 连续复利和实际利率

一年后：
$A_1 = P + P\times r=P(1+r)$
两年后：
$A_2 = P(1+r)^2$
$m$年后：
$A_m = P(1+r)^m$

考虑半年计息一次：
$A = P(1+ \frac{r}{2})^2$
考虑计息间隔越来越小，一年计息 $m$次：
$A = P(1 + \frac{r}{m})^m$
取极限：
$A = \mathop {\lim }\limits_{m \to + \infty } P\left ( 1 + \frac{r}{m} \right )^m = Pe^r$
$t$年：
$A = Pe^{rt}$

$1$元, 年利率为 $r$, 一年后：
$e^r$
$t$年后：
$e^{rt}$

$t = n$ 时， $1$元，则零时刻现值为 $e^{-rn}$

例1：求 $100$ 元本金，以 $10\%$复利两年的终值。(1).每年计算复利一次；(2.)半年计算复利一次; (3).连续计算复利。

解答：(1).每年计算复利一次，则有两年后的终值为 $A = 100\times (1+10\%)^2=121$;(2).半年计算复利一次，则 $A=100\times (1+\frac{10\%}{2})^{2\times2}=121.55$;(3).连续复利，则 $A=100\times e^{10\% \times 2}=122.14$. 结论：复利次数越多，终值越大，连续复利的终值最大。

(二) 实际利率和名义利率

$P(1+i_e)^t = P \left (1+ \frac{i}{m} \right )^{mt}$
$i_e = \left (1+ \frac{i}{m} \right )^m -1$
$i_e = e^i -1$

例2：名义利率为 $10\%$, 期限为 $2$年，求：(1).复利两次 (2).连续复利. 的实际利率。

解答：(1). $i_e = \left (1+\frac{i}{m} \right)^m - 1=0.1025$; (2). $i_e = e^r-1=0.105171$.

第三节 随机过程在数理金融中的应用

一 、随机过程的含义

1.如果对变化过程的全过程做一次观察，得到一个位置与时间关系的函数 $x_1(t)$, 若再次观察，又得到函数 $x_2(t),\cdots,$, 因而得到一族函数。
2.如果在时刻 $t$ 观察指点的位置 $x(t)$ , 则 $x(t)$是一个随机变量，这样对于每个时刻 $t$变得到一个随机变量 $X(t)$，于是就得到了一族随机变量 $\{X(t),t \ge 0 \}$ (最初时刻为 $t = 0$), 它描述了随机的运动过程。

定义1 设 $E$是一个随机实验，样本空间为 $\Omega = \{ \omega \}$,参数 $T \subset (- \infty,+ \infty)$, 如果对每个 $\omega \in \Omega$, 总有一个 确定的时间函数 $X(\omega,t)$ 与之对应，这样对于所有的 $\omega \in \Omega$, 就得到一族时间 $t$ 的函数，称此族时间 $t$的函数为随机过程，而族中每个函数称为这个随机过程的样本函数(或路径，一次实现)。

定义2 设 $E$是一个随机实验，样本空间为 $\Omega = \{ \omega \}$,参数 $T \subset (- \infty,+ \infty)$, 如果对任意的 $t \in T$, 有一定义在 $\Omega$ 上的随机过程变量 $X(\omega,t)$ 与之对应，则称 $\{X(\omega,t,t \in T\})$ 为随机过程，简记为 $\{X(t),t \in T\}$, 或 $X(t)$.

1.随机过程 $X(t)$, 是定义在 $\Omega \times T$ 上的函数，可以从两个角度理解。在理论分析中，用定义2，实际测量和处理中用定义1.
2.通常将随机过程 $X(t)$，解释为一个物理系统， $X(t)$ 表示系统在时刻 $t$ 所处的状态， $X(t)$的所有可能状态所构成的集合称为状态空间，记为 $I$, 对于给定的 $t_0 $

可以通过下图来直观的理解随机过程的概念：

例如：抛掷一枚硬币的实验定义：
$X\left( t \right) \xlongequal{\Delta} \left\{ \begin{array}{l} \cos \left( {\omega t} \right),e \in H\\ t,e \in T \end{array} \right.$

latex等号

二、随机过程分类

• 1.按照 $I$和 $T$ 是可列集合还是连续集合分类：连续型、离散型、连续型随机序列、离散随机序列。
• 2.按分布特性分类：独立增量过程、马尔可夫过程、平稳过程等。

三、随机过程的概率分布

1. $n$维分布函数

设 $\{X(t),t \in T \}$是随机过程，对于任意整数 $n \ge 1$ 及 $T$ 中任意 $n$ 个不同参数 $t_1,t_2,\cdots,t_n$, 称 $F_X \left ( x_1,x_2,\cdots,x_n;t_1,t_2,\cdots,t_n \right) = P \left \{ X(t_1) \le x_1 ,X(t_2) \le x_2,\cdots,X(t_n) \le x_n\right \}$ 为其联合分布. 由有限维分布函数构成的集合称为随机过程的有限维分布族.

2.随机过程的数字特征

1. 均值函数： $\mu_X(t) = E[X(t)]$
2. 均方值函数： $\varPsi_X^2(t) = E[X^2(t)]$
3. 方差函数: $\sigma_X^2(t) = D_X[X(t)]$
4. 协方差函数: $C_X(s,t) = Cov(X(s),X(t)) = E\{[X(s) -\mu_X(s)][X(t) - \mu_X(t)] \}$
5. 自相关函数: $R_X(s,t) = E[X(s)X(t)]$

期望：均值; 方差: 波动程度.

3.诸数字特征的关系

$\varPsi_X^2(t) = R_X(t,t),C_X(s,t)=R_X(s,t) - \mu_X(s)\cdot \mu_X(t)$

例子：设随机过程 $X(t) = Y\cos(\omega t) + Z\sin(\omega t),t \ge 0$, 其中 $Y,Z$独立, 且有 $E(Y)=E(Z)=0,D(Y)=D(Z)=\sigma^2$, 求随机过程 $X(t)$的均值函数 $\mu_X(t)$和自相关函数 $R_X(s,t)$。

解答：
$\mu_X(t) = E[X(t)] =E[Y\cos\omega t + Z\sin\omega t] =\cos\omega t \cdot E(Y) + \sin\omega \cdot E[Z]=0$
$
R_X(s,t)$
$=E[X(s)X(t)]$
$=E\{ [Y\cos \omega s +Z\sin \omega s][Y\cos \omega t + Z\sin \omega t] \}$
$=E\{ Y^2\cos\omega s \cos \omega t +YZ[\cos\omega s \sin \omega t +\cos\omega t \sin \omega s] + Z^2\sin\omega s \sin \omega t \}$
$=\cos\omega s\cos \omega t E(Y^2) + \sin \omega s\sin \omega t E(Z^2)$
$=\sigma^2[\cos \omega s \cos \omega t +\sin \omega s \sin \omega t]$
$=\sigma^2 \cos\omega (s-t)$

例2：考虑随机过程 $X(t) = a\cos(\omega t + \Theta),t \in (-\infty,+ \infty)$, 其中 $a$和 $\omega$是常数， $\Theta$ 是在 $(0,2 \pi)$ 上服从均匀分布的随机变量，通常称此随机过程为随机相应正弦波，求随机相位正弦波的均值函数、方差函数和自相关函数。

解答： $\Theta$ 的概率密度函数为
$f(\theta) = \left \{ \begin{array}{l} \frac{1}{2 \pi},\theta \in (0,2 \pi) \\ 0,\theta \notin (0,2 \pi) \end{array} \right.$
于是
$\mu_X(t) $
$= E[X(t)] $
$= E[a\cos(\omega t + \Theta)] $
$=\int_0^{2 \pi} a\cos(\omega t+\theta)\cdot \frac{1}{2 \pi} \rm{d}\theta =0$
$
R_X(s,t)$
$
=E[X(s)X(t)]$
$
=E{ [a^2\cos(\omega s +\Theta )\cos(\omega t + \Theta)] }$
$
=a^2\int_0{2 \pi} \cos(\omega s +\theta) \cdot \cos(\omega t + \theta)\cdot \frac{1}{2 \pi}\rm{d}\theta$
$=\frac{a^2}{2} \cos\omega(t-s)
$,
$
\sigma_X^2(t) = R_X(t,t) - \mu_X^2(t)=\frac{a2}{2}
$

例子3：设随机过程 $X(t) = Y+Zt,t \in T = (- \infty,+ \infty)$, 其中 $Y,Z$ 是独立的服从 $\mathcal{N}(0,1)$ 的随机变量，求 $X(t)$ 一维概率密度。

解答：
$\forall t \in T $ 由正态分布的性质可知： $X(t)$服从正态分布：
$E[X(t)] = E[Y] + tE[Z]=0$
$D[X(t)] = D(Y)+t^2D(Z)=1+t^2$
从而有：
$f(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi (1+t^2)}}e^{-\frac{x^2}{2(1+t^2)}}$

四、二维随机过程

定义1: $X(t),Y(t)$ 为定义在同一样本空间 $\Omega$ 和同一参数集 $T$ 上的随机过程, 对于任意的 $t \in T, \left ( X(t) ,Y(t)\right )$

二维随机变量的数字特征

• 互相关函数： $R_XY(s,t) = E[X(s)Y(t)]$
  若互相关函数为零, 称两个随机变量是正交的.

几类随机过程

严平稳随机过程: 设 $X(t)$是随机过程, 如果对于任意的常数 $h$ 和任意的正整数 $n$ 以及任意的 $n$ 维随机向量 $\left (X(t_1),\cdots,X(t_n) \right )$ 和 $\left (X(t_1+h),\cdots,X(t_n+h) \right )$ 具有相同的分布,则称随机过程 $X(t)$具有平稳性, 并同时此为严平稳过程.

严平稳随机过程的数字特征. (略过)

弱平稳过程: 设 $X(t)$ 是二阶矩过程( $E[X^2(t)] < + \infty$), 如果: $E[X(t)]=\mu_X (const),t \in T and \forall t,t + \tau \in T $

独立增量过程: 设 $X(t)$ 为一随机过程, 对于 $ \le s < t$ 称随机变量 $X(t) - X(s)$ 为随机过程在时间区间 $[s,t]$ 上的增量.

对于任意的正整数 $n$ 以及任意的 $0 \le t_0 &lt; t_1 &lt; \cdots &lt;t_n$
$n$ 个增量 $X(t_1)-X(t_0), X(t2)-X(t_1),\cdots,X(t_n)-X(t_{n-1})$ 相互独立, 称 $X(t)$ 为独立增量过程.

独立增量过程 $X(t)$ 在 $X(0)=0$ 的条件下, $X(t)$ 的协方差函数为 $C_X(s,t) = D_X( \min (s,t))$.

维纳过程(布朗运动): 给定二阶矩过程 $\{ W(t), t \ge 0 \}$, 如果:

• 1.具有平稳的独立增量;
• 2.对任意的 $t &gt; s \ge 0 , W(t) - W(s)$ 服从正态分布 $\mathcal{N}(0,\sigma^2(t-s))$;
• 3. $W(0)=0$

则称此过程为维纳过程. 当 $\sigma^2 =1$时, 过程称为标准布朗运动.

维纳过程的性质:

• 处处连续, 处处不可导.

• 维纳过程 $W(t)$ 为正态过程 (每一个有限维过程均为正态分布)
  $aW(t) \sim \mathcal{N}(0,a^2 \sigma^2 t)$

• 维纳过程的均值函数、自协方差函数、自相关函数分别为 $\mu_W(t) =0; R_W(s,t)=C_W(s,t) = \sigma^2 \min(s,t)$

鞅过程

$\left (\Omega, \mathscr{F},P \right )$

• $\Omega$ 样本空间
• $\mathscr{F}$ 滤波(子)
• $P$ 概率测度
• $\mathscr{F}_t$ 到 $t$ 时刻为止所知道的信息.

定义: 随机过程 $X_n$ 称为关于 $Y_n$的下鞅, 如果对 $n \ge 0 , X_n$ 是 $(Y_0,Y_1,\cdots,Y_n)$ 的函数, $E[X_n^{+}] &lt; \infty$, 并且 $E[X_{n+1}|Y_0,Y_1,\cdots,Y_n] \ge X_n,$其中 $X_n^{+} =\max(0,X_n)$. 随机过程 $X_n$称为关于 $Y_n$的上鞅, 如果对 $n \ge 0 , X_n$ 是 $(Y_0,Y_1,\cdots,Y_n)$的函数, $E[X_n^{-}] &lt; \infty$, 并且 $E[X_{n+1}|Y_0,Y_1,\cdots,Y_n] \le X_n$, 其中 $X_n^{-} = \max [0,-X_n]$.

若随过程机 $X_n$ 既为 $Y_n$ 的上鞅, 又为下鞅, 则称 $X_n$ 为关于 $Y_n$的鞅. 此时 $E[X_{n+1}|Y_0,Y_1,\cdots,Y_n] = X_n$

• 伊藤(Ito)积分:
  $\int X(t) \rm{d} B(t)$
  $\Delta B(t_j) = B(t_{j+1})-B(t_j)$
  $\rm{d} B(t_j) \xlongequal{\Delta} \mathop{\lim}\limits_{{t_{j + 1}} \to {t_j}} \Delta B(t_j)$

伊藤过程: $X(t)$ 是定义在 $(\Omega,\mathscr{F},\mathscr{P})$ 上的随机过程(s.p.). 若 $X(t)=X(0)+\int_0^t U(s) \rm{d}s + \int_0^t V(s) \rm{d} B(s)$ 或者

$\rm{d} X(t) = U(t)\rm{d} + V(t)\rm{d}B(t)$, 其中 $B(t)$ 为布朗运动.
称为随机微分方程(SDE)

结论: $\rm{d} B(t) \rm{d} B(t)=dt, \rm{B(t)} \rm{d}t = 0$

鞅: 公平赌博. 可以参考高等概率论.

作业: 简述金融数学的发展历程.

伊藤定理

设随机过程 $X(t)$满足: $\rm{d}X(t) = b(t,X(t))\rm{d}t + \delta (t,X(t))\rm{d}B(t),y=f(t,x)$ 是二元函数，且具有连续偏导数 $\frac{\partial f}{\partial t},\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$，令 $Y(t) = f(t,X(t))$，则 $\rm{d}Y(t) = \left (\frac{\partial f}{\partial t} + b \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \right) (t,X(t)) \rm{d}t + \delta \frac{\partial f}{\partial x} (t,X(t))\rm{d}B(t)$

伊藤定理的另一个版本

set $\rm{d}X(t) = U(t)\rm{d}t + V(t)\rm{d}B(t),g(t,x)$所有二阶偏导数连续, $Y = g[(t,X(t))]$, 则 $\rm{d}Y(t) = \left [ \frac{\partial g}{\partial t} + \frac{\partial g}{\partial x}U(t) +1/2 \frac{\partial^2 g}{\partial x^2}V^2(t) \right ] \rm{d}t + \frac{\partial g}{\partial x}V(t) \rm{d}B(t)$或者 $\rm{d}Y(t) = g_t \rm{d}t + g_x \rm{d}x + 1/2 g_{xx}(\rm{d}x)^2$

例1：设 $g(t,x)=1/2 x^2,X = B(t)$, 计算 $\rm{d}Y(t)$

解答: 令 $g(t,x)=1/2 x^2,g_t=0,g_x=x,g_{xx}=1$, 由伊藤引理： $\rm{d}Y(t) = \rm{d}(\frac{1}{2}B^2(t)) = g_t \rm{d}t + g_x \rm{d}x + 1/2 g_{xx}(\rm{d}x)^2 = 0 \times \rm{d}t + x\rm{d}x + \frac{1}{2} (\rm{d}x)^2 = B(t)\rm{d}B(t) + 1/2 \rm{d}t$

例2: $Y(t) = exp(B(t) - \frac{t}{2})$, count $\rm{d}Y(t)$

解答： $Y(t) = g(t,x)=exp(x-\frac{t}{2}),X(t)=B(t)$
$g_t = -\frac{1}{2}exp(-\frac{t}{2}+x),g_x = exp(x-\frac{t}{2}),g_{xx} = exp(x-\frac{t}{2})$
由伊藤定理； $\rm{d}Y(t) = exp(B(t) - \frac{t}{2}) \rm{d}B(t) = Y(t)\rm{d}B(t)$

例子3：股票价格 $S_t$服从 $\rm{d}S_t = S_t \mu \rm{d}t + S_t \sigma \rm{d}B(t)$ 求 $S_t$的分布。 $\mu$为收益率, $\sigma$ 为波动率。

解答： $set g(t,S) = \ln S,we have g_t = 0,g_S = \frac{1}{S},g_{SS}=-\frac{1}{S^2}$
由伊藤定理:
$\rm{d}g = g_t \rm{d}t + g_S\rm{d}S + \frac{1}{2} g_{SS}(\rm{d}S)^2 = (\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)\rm{d}t + \sigma \rm{d}B(t)$
积分有：
$\ln S_t - \ln S_0 = \int_0^T (\mu -\frac{\sigma^2}{2})\rm{d}t + \int_0^T \sigma \rm{d}B(t) = (\mu - \frac{\sigma^2}{2})T + \sigma B(T)$
$\Rightarrow S_T =S_0 exp \left [(\mu - \frac{\sigma^2}{2})T + \sigma B(T) \right]$

$\mathscr{A,B,C,D,E,F,G.H,I,J,K,L,M,N,O,P,Q,R,S,T,U,V,W,X,Y,Z}$

$\mathcal{A,B,C,D,E,F,G.H,I,J,K,L,M,N,O,P,Q,R,S,T,U,V,W,X,Y,Z}$