POJ2728 - Desert King（最优比率生成树）

题目链接 https://cn.vjudge.net/problem/POJ-2728

【题意】
有$N$个村庄（$N<=1000$）这些村庄在不同坐标和海拔，现在要对所有村庄供水，每两个村庄之间只有一条通道即可。建造通道的距离为村庄之间的欧几里德距离，费用则为村庄间的海拔之差。现在要求一种方案使得总费用与总距离的比值最小，问你最小的比值。

【思路】
用$cost[i][j]$表示 $i、j$ 村庄修造通道的费用，$len[i][j]$ 为 $i、j$ 村庄修造通道的距离。

方法一：二分法

设最小比值

$$o = \frac{ \sum cost[i][j]} { \sum len[i][j]}$$

构造函数 $Map[i][j] = cost[i][j] - o * len[i][j]$

则取最小比值时，有 $\sum Map[i][j] = 0$（其中 $Map[i][j]$里面的 $i->j$这条边是当前生成树的边）

实现过程：
枚举比值$mid$，求出所有的$Map$值。然后跑一次$prim$，求出构造最小生成树的$Map$值总和$ans$, 当枚举的值$mid$就是最优值$o$的时候，有$\sum Map[i][j] = 0$ 在枚举过程中，若$ans < 0$，说明 $o$ 值过大；若 $ans > 0$，说明 $o$值过小。这个题直接写裸的$prim$比用堆优化过的还快，不知道为啥.

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
using namespace std;

const double inf=2e9;
const double eps=1e-6;
const int maxn=1005;

int n,m;
double x[maxn],y[maxn],h[maxn];
double cost[maxn][maxn],len[maxn][maxn],g[maxn][maxn];
double le,ri,mid;
bool done[maxn];
double low[maxn];

bool check(double r){
    for(int i=0;i<n;++i){
        for(int j=i+1;j<n;++j){
            g[i][j]=g[j][i]=cost[i][j]-r*len[i][j];
        }
    }
    int s=0;
    for(int i=0;i<n;++i){
        done[i]=false;
        low[i]=g[s][i];
    }
    done[s]=true;
    double ans=0;
    for(int cnt=0;cnt<n-1;++cnt){
        int id=-1;
        double Mind=inf;
        for(int i=0;i<n;++i){
            if(!done[i] && low[i]<Mind){
                Mind=low[i];
                id=i;
            }
        }
        ans+=Mind;
        done[id]=true;
        for(int i=0;i<n;++i){
            if(!done[i] && g[id][i]<low[i]) low[i]=g[id][i];
        }
    }
    return ans>=0;
}

int main(){
    while(scanf("%d",&n)==1 && n){
        for(int i=0;i<n;++i) scanf("%lf%lf%lf",&x[i],&y[i],&h[i]);
        le=ri=0;
        for(int i=0;i<n;++i){
            for(int j=i+1;j<n;++j){
                cost[i][j]=cost[j][i]=fabs(h[i]-h[j]);
                len[i][j]=len[j][i]=sqrt((x[i]-x[j])*(x[i]-x[j])+(y[i]-y[j])*(y[i]-y[j]));
                ri=max(ri,cost[i][j]/len[i][j]);
            }
        }
        while(le+eps<ri){
            mid=(le+ri)/2;
            if(check(mid)) le=mid;
            else ri=mid;
        }
        printf("%.3f\n",le);
    }
    return 0;
}

方法二:迭代 比二分高效
设 $x$ 为当前生成树的最优比值
先给 $x$ 赋初值（任意 $N-1$ 条边的花费总和与长度总和的比值），用 $x$ 值构造 $Map$ 值， $Map[i][j] = cost[i][j] - x * len[i][j]$，并用变量 $x0$ 存储 $x$ 的值；

以构造出的各边的 $Map$ 值，求最小生成树。在这里用两个变量 $sumcost$和 $sumlen$ 记录最小生成树中所有边的总花费和总长度。

结果

$$\frac{sumcost} { sumlen}$$ 是我们用 $x0$（即先前的 $x$）求出的更优的值，更新 $x = sumcost / sumlen$
重复执行，直到 $x >= x0$ 即求出的更优值 $x$ 没有上一次的值 $x0$小

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;

const double inf=2e9;
const double eps=1e-6;
const int maxn=1005;

int n,m;
double x[maxn],y[maxn],h[maxn];
double cost[maxn][maxn],len[maxn][maxn],g[maxn][maxn];
double r0,r1;
bool done[maxn];
int pre[maxn];
double low[maxn];

double prim(double r){
    for(int i=0;i<n;++i){
        for(int j=i+1;j<n;++j){
            g[i][j]=g[j][i]=cost[i][j]-r*len[i][j];
        }
    }
    int s=0;
    for(int i=0;i<n;++i){
        done[i]=false;
        low[i]=g[s][i];
        pre[i]=s;
    }
    done[s]=true;
    double sumcost=0,sumlen=0;
    for(int cnt=0;cnt<n-1;++cnt){
        int id=-1;
        double Mind=inf;
        for(int i=0;i<n;++i){
            if(!done[i] && low[i]<Mind){
                Mind=low[i];
                id=i;
            }
        }
        sumcost+=cost[pre[id]][id];
        sumlen+=len[pre[id]][id];
        done[id]=true;
        for(int i=0;i<n;++i){
            if(!done[i] && g[id][i]<low[i]){
                low[i]=g[id][i];
                pre[i]=id;
            }
        }
    }
    return sumcost/sumlen;
}

int main(){
    while(scanf("%d",&n)==1 && n){
        for(int i=0;i<n;++i) scanf("%lf%lf%lf",&x[i],&y[i],&h[i]);
        for(int i=0;i<n;++i){
            for(int j=i+1;j<n;++j){
                cost[i][j]=cost[j][i]=fabs(h[i]-h[j]);
                len[i][j]=len[j][i]=sqrt((x[i]-x[j])*(x[i]-x[j])+(y[i]-y[j])*(y[i]-y[j]));
            }
        }
        double sumcost=0,sumlen=0;
        for(int i=1;i<n;++i){
            sumcost+=cost[0][i];
            sumlen+=len[0][i];
        }
        r0=sumcost/sumlen;
        while(1){
            r1=prim(r0);
            if(r0-r1<eps) break;
            r0=r1;
        }
        printf("%.3f\n",r0);
    }
    return 0;
}