贪心观光公交

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描述

  风景迷人的小城 Y 市,拥有 n 个美丽的景点。由于慕名而来的游客越来越多,Y 市特意安排了一辆观光公交车,为游客提供更便捷的交通服务。观光公交车在第 0 分钟出现在 1 号景点,随后依次前往 2、3、4……n号景点。从第 i 号景点开到第 i+1 号景点需要 Di分钟。任意时刻,公交车只能往前开,或在景点处等待。 
  设共有 m 个游客,每位游客需要乘车 1 次从一个景点到达另一个景点,第 i 位游客在 Ti分钟来到景点 Ai,希望乘车前往景点 Bi(Ai<Bi)。为了使所有乘客都能顺利到达目的地,公交车在每站都必须等待需要从该景点出发的所有乘客都上车后才能出发开往下一景点。假设乘客上下车不需要时间。  
一个乘客的旅行时间,等于他到达目的地的时刻减去他来到出发地的时刻。因为只有一辆观光车,有时候还要停下来等其他乘客,乘客们纷纷抱怨旅行时间太长了。于是聪明的司机 ZZ 给公交车安装了 k个氮气加速器,每使用一个加速器,可以使其中一个 Di减1。对于同一个 Di可以重复使用加速器,但是必须保证使用后 Di大于等于 0。那么 ZZ 该如何安排使用加速器,才能使所有乘客的旅行时间总和最小?

输入第 1 行是3个整数 n, m, k,每两个整数之间用一个空格隔开。分别表示景点数、乘客数和氮气加速器个数。 
第 2 行是 n-1 个整数,每两个整数之间用一个空格隔开,第 i 个数表示从第 i 个景点开往第 i+1 个景点所需要的时间,即 D i。 
第 3 行至 m+2 行每行3 个整数 T i, A i, B i,每两个整数之间用一个空格隔开。第 i+2 行表示第 i 位乘客来到出发景点的时刻,出发的景点编号和到达的景点编号。输出共一行,包含一个整数,表示最小的总旅行时间。样例输入
3 3 2 
1 4 
0 1 3 
1 1 2 
5 2 3 
样例输出
10 
提示 【输入输出样例说明】 
对 D 2  使用 2 个加速器,从 2 号景点到 3 号景点时间变为 2 分钟。 
公交车在第 1 分钟从 1 号景点出发, 第 2 分钟到达2号景点, 第 5 分钟从 2 号景点出发,
第 7 分钟到达 3 号景点。 
第 1 个旅客旅行时间 7-0 = 7 分钟。 
第 2 个旅客旅行时间 2-1 = 1 分钟。 
第 3 个旅客旅行时间 7-5 = 2 分钟。 
总时间 7+1+2 = 10 分钟。 
【数据范围】 
对于 10%的数据,k=0; 
对于 20%的数据,k=1; 
对于 40%的数据,2 ≤ n ≤ 50,1 ≤m≤ 1,000,0 ≤ k ≤ 20,0 ≤ D i  ≤ 10,0 ≤ T i  ≤ 500; 
对于 60%的数据,1 ≤ n ≤ 100,1 ≤m≤ 1,000,0 ≤ k ≤ 100,0 ≤ D i  ≤ 100,0 ≤ T i  ≤ 10,000;

对于 100%的数据,1 ≤ n ≤ 1,000,1 ≤ m ≤ 10,000,0 ≤ k ≤ 100,000,0 ≤ Di ≤ 100,0 ≤ Ti≤ 100,000。

解题思路

    这道题使用到了贪心加递推的思想;

    首先:我们要计算出在不使用加速器之前所有乘客花费的总时间tot;在这之前要知道如何计算出每位乘客花费的时间;

    每位乘客花费的时间=乘客到达目的站的时间 — 乘客到达出发站的时间;

    乘客到达出发站的时间我们是已知的,所以要计算出乘客到达目的站的时间,等同于计算出观光车到达每一站的时间,这时就要使用递归思想;题目已知到达第1站的时间为0时,那什么时候到达第2站呢?

    到达第2站的时间=从第1站出发的时间 + 从第1站到第2站花费的时间

    由于假设乘客上下车不需要时间,所以

    从第1站出发的时间=max(到达第1站的时间,从第1站出发到达第1站最晚的时间

    在输入数据时,就可以把乘客从i站出发到达i站最晚的时间计算出来,从第1站递推到第n站,就能够把观光车到达每一站的时间都计算出来。

    接下来我们考虑如何使用加速器能够使所有乘客的旅行时间总和最小(使用一个加速器能够加速最多的人);

    在一个站使用加速器之后,要考虑这个加速器能够加速的范围是多少;在第n-1站使用加速器,能够加速的最远景点是第n站,能够加速的乘客是在第n站下车的人,这个是确定的;所以我们可以由已知倒着递推未知

假设在第i站使用加速器:

    ①假设观光车到达i+1站的时间

小于以i+1站为起点的乘客到达i+1站最晚的时间,说明该观光车到达i+1站之后要等待这位乘客到达之后才会出发;若在i站使用加速器,观光车到达i+1站的时间会变短,使在i+1站下车的乘客的花费时间变短,但是观光车到达i+1站之后仍然要等待这位最晚到达的乘客上车之后才能出发,所以这个加速器的最大有效范围只到i+1站。

    ②假设观光车到达i+1的时间等于以i+1站为起点的乘客到达i+1站最晚的时间,说明该观光车到达i+1站之后等无需等待,直接出发;若在i站使用加速器,观光车到达i+1站的时间会变短,使在i+1站下车的乘客的花费时间变短,但是观光车到达i+1站之后仍然要等待这位最晚到达的乘客上车之后才能出发,所以这个加速器的最大有效范围只到i+1站。

    ③假设观光车到达i+1的时间大于以i+1站为起点的乘客到达i+1站最晚的时间,说明观光车到达i+1车站之后无需等待,直接出发;若在i站使用加速器,则加速器的效果会延续到之后的若干站,则在第i站使用加速器的最大有效范围等于在第i+1站使用加速器的最大有效范围。
    好了,我不想写了,写的好累呀,结合下面的代码来看吧,代码里也有注释。

参考程序
#include<iostream>
using namespace std;
int n,m,k,i,maxn,tot=0,p;
int Clock[1005];//到达第i个景点的时间
int last[1005];//起始点为i的乘客最晚到达i景点的时间
int d[1005];//两个景点之间所用的时间
int range[1005];//在i站使用加速器所能加速的最远景点的编号
int leave[1005];//第一个景点到第i个景点之间每个景点下车人数的总和
int t[10005],a[10005],b[10005];//第i位乘客来到出发景点的时刻;出发的景点编号;到达的景点编号
int main()
{
    cin>>n>>m>>k;
    for(i=1;i<=n-1;i++)
        cin>>d[i];
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>t[i]>>a[i]>>b[i];
        last[a[i]]=max(last[a[i]],t[i]);//找出起始点为i的乘客最晚到达i景点的时间
        leave[b[i]]++;//计算出在本景点下车的人数
    }
    for(i=2;i<=n;i++)
    {
        leave[i]+=leave[i-1];//计算出第一个景点到第i个景点之间每个景点下车人数的总和
        Clock[i]=max(Clock[i-1],last[i-1])+d[i-1];//计算出每一个景点的到达时间
    }
    /*for(i=1;i<=n;i++)
        cout<<Clock[i]<<" ";
    cout<<endl;*/
    for(i=1;i<=m;i++)
        tot+=Clock[b[i]]-t[i];//计算出不使用加速器之前的所有人的时间总和
    //cout<<tot<<endl;
    while(k!=0)
    {
        k--;
        range[n-1]=n;
       for(i=n-2;i>=1;i--)
       {
           if(Clock[i+1]<=last[i+1])//如果下一个景点汽车到达的时间小于等于下一个景点最后一个人到达的时间
                range[i]=i+1;//加速器只在i+1下车的人有效
           else
                range[i]=range[i+1];//加速器连续有效
       }
       maxn=-1;
       for(i=1;i<=n;i++)
       {
           if(leave[range[i]]-leave[i]>maxn&&d[i]!=0)
           {
               maxn=leave[range[i]]-leave[i];//找出在哪一个景点使用加速器能够加速的时间(能够加速最多的人)
                p=i;//记录该景点
           }

       }
        if(maxn==-1)//加速器无效,退出循环
            break;
        tot-=maxn;//减去能够加速的总时间
        d[p]--;
        for(i=p;i<=n;i++)
            Clock[i]=max(Clock[i-1],last[i-1])+d[i-1];//重新计算到达每一站的时间
    }
    cout<<tot;
    return 0;
}

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