二分查找Binary Search

二分查找(Binary Search)

· 二分查找是基于有序序列的查找算法
· 具体步骤（以严格递增序列为例）：该算法一开始令[left,right]为整个序列的下标区间，然后每次测试当前[left,right]的中间位置mid=(left+right)/2;判断A[mid]与欲查询元素x的大小：
1.如果A[mid] == x，说明查找成功，退出查询
2.如果A[mid] > x,说明x在mid的左边，因此往左区间[left,mid-1]继续查找
3.如果A[mid] < x,说明x在mid的右边，因此往右区间[mid+1,right]继续查找
· 二分查找的高效之处在于每一步都可以除去当前区间中的一半元素，因此其时间复杂度为O(logn)

//A[]为严格递增序列，left为二分下界，right为二分上界，x为欲查询的数
//二分区间为左闭右闭的[left,right]，传入的初值为[0,n-1]
int binarySearch(int A[],int left,int right,int x){
    int mid;
    while(left<=right){
        mid=(left+right)/2;
        if(A[mid]==x) return mid;
        else if(A[mid]>x){
            right=mid-1;
        }else{
            left=mid+1;
        }
    }
    return -1; //查找失败返回-1
}

求序列中的第一个大于等于x的元素的位置

1.如果A[mid] ≥ x，说明第一个大于等于x的元素的位置一定在mid处或mid的左侧，应往左子区间[left,mid]继续查询
2.如果A[mid] < x，说明第一个大于等于x的元素的位置一定在mid的右侧，应往右子区间[mid+1，right]继续查询

//A[]为递增序列，x为欲查询的数，函数返回第一个大于等于x的元素的位置
int lower_bound(int A[],int left,int right,int x){
    int mid;
    while(left<right){     //注意此处无= 因为此问一定有解不会查找失败，最后返回left或right均可
        mid=(left+right)/2;
        if(A[mid]>=x){
            right=mid;
        }else{
            left=mid+1;
        }
    }
    return left;  //返回夹出来的最终位置
}

求序列中第一个大于x的元素的位置

1.如果A[mid]>x，说明第一个大于x的元素的位置一定在mid处或mid的左侧，应往左子区间[left,mid]继续查询
2.如果A[mid]≤x，说明第一个大于x的元素的位置一定在mid的右侧，应该往右子区间[mid+1,right]继续查询

//只需在lower_bound()函数中改变if中的判断条件
if(A[mid]>x)

解决“寻找有序序列第一个满足某条件的元素的位置”问题的固定模板

//二分区间为左闭右闭的[left,right],初值必须能覆盖解的所有可能取值
int solve(int left,int right){
    int mid;
    while(left<right){
        mid=(left+right)/2;
        if(条件成立){
            right=mid;
        }else{
            left=mid+1;
        }
    }
    return left;
}

二分法拓展

快速幂

typedef long long LL;
//求a^b%m,递归写法
LL binaryPow(LL a,LL b,LL m){
    if(b==0) return 1;
    //b为奇数，转换为b-1
    if(b%2==1) return a*binaryPow(a,b-1,m)%m;
    else{
        LL mul=binaryPow(a,b/2,m);
        return mul*mul%m;
    }
}