[Algorithm] Binary Search - 二分查找

二分查找针对的是一个有序的数据集合，查找思想类似分治，每次都通过跟区间的中间元素对比，将代查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为0。

时间复杂度：O(logn)

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以下代码适用于最简单的情况，即有序数组中不存在重复元素。

非递归（循环）实现代码：

def binary_search(arr, x):
    low, high = 0, len(arr) - 1
    while low <= high:
        mid = (low + high) // 2
        val = arr[mid]
        if val == x:
            return mid
        elif val < x:
            low = mid + 1
        else:
            high = mid - 1
    return None

递归实现代码：

def binary_search_recur(arr, low, high, x):
    if low > high:
        return -1
    mid = (low + high) // 2
    if x < arr[mid]:
        return binary_search_recur(arr, low, mid - 1, x)
    elif x > arr[mid]:
        return binary_search_recur(arr, mid + 1, high, x)
    else:
        return mid

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重点：

1. 循环退出条件：

low <= high

2. mid 的取值：

# 改进：防止溢出
mid = low + (high - low) / 2
# 性能优化：转化为位运算
mid = low + ((high - low) >> 1)

3. low 和 high 的更新

low = mid + 1
high = mid - 1
# 不可写为low = mid 或 high = mid，防止发生死循环

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适用场景：

1. 二分查找依赖顺序表结构，即数组。
2. 二分查找针对有序数据，因此只能用在插入、删除操作不频繁，一次排序多次查找的场景中。
3. 数据量太小不适合二分查找：与顺序遍历相比效率提升不明显。
   但有一个例外，如果数据之间的比较操作非常耗时，不管数据量大小，都应用二分查找。比如，数组中存储的都是长度超过300的字符串，此时应尽量减少比较操作，使用二分查找更优。
4. 数据量太大也不适合二分查找：因为数组需要连续的内存空间，若数据量太大，往往找不到存储如此大规模数据的连续内存空间。