伸展树及相关操作

伸展树

简要提点

• 伸展树（Splay Tree）是一种二叉排序树，能在O(log n)内完成插入、查找和删除操作。
• 伸展树的基本操作都和伸展有关：当带有关键字X的节点被插入时，需要对树进行一系列的伸展旋转使得关键字X的节点成为新的根节点。当查找一个关键字X时，也同样对树进行伸展旋转使得带有关键字X的节点成为根节点。这样下次再查找X时，只需O(1)的时间。
• 伸展树的数据结构使得访问频繁的关键字排在靠近根的位置，减少了频繁关键字的查找时间。

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伸展树的旋转

• 三种旋转情况：单旋转、一字形旋转和之字形旋转，每种旋转都分左右两个方向。
• 为了简化旋转操作，假设当前伸展树根节点X，左边有个空节点L节点（旋转过程作为子树的根，自顶向下迭代过程中子树中存放小于X的节点），同样右边有个空节点R节点（旋转过程作为子树的根，自顶向下迭代过程中子树中存放大于X的节点）当然也可以不借助L和R直接在树中自顶向下依次旋转调整。

单旋转

• 如下图假设（要查找的）目标节点为$Y$节点，则需要进行一次单旋转（左），将$Y$调整为中间树的新根。
  

一字形旋转

• 类似于AVL树的单旋转如下图假设（要查找的）目标节点为$Z$节点，则需要进行一次一字形旋转（左），将$Z$调整为中间树的新根。
  

SplayTree SingleRotateWithLeft(SplayTree Sp)    // 一字形旋转（左）类似AVL单左旋
{
    SplayNode* X = Sp;      
    SplayNode* Y = Sp->left;    // 用X和Y标记树的根节点及左孩子
    X->left = Y->right;         // X的左孩子赋值为Y的右孩子
    Y->right = X;
    return Y;                   // 返回Y
}

之字形旋转

• 类似于AVL树的双旋转，如下图假设（要查找的）目标节点为$Z$节点，则需要进行一次之字形调整，将$Z$调整为中间树的新根。
  

之字形旋转简化

• 将目标节点的父节点作为新根，可以把之字形旋转简化为单旋转。优点：简化程序。缺点：展开过程需要进行更多迭代。
• 如下图假设（要查找的）目标节点为$Z$节点，简化之字形旋转为单旋转，将其父节点Y调整为中间树的新根。
  

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旋转后的链接

• 进行旋转后，要对L、R及中间树进行链接形成一颗新树。如下图

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伸展树的展开操作

• 伸展树的关键就在于其伸展操作

SplayTree Splay(SplayTree Sp, ElementType key)  // 自顶向下的展开过程
{
    SplayTree L = Initialize();     // 借助L和R实现展开过程
    SplayTree R = Initialize();

    SplayNode* LeftTreeMax = L;         // 定义LeftTreeMax指针指向左子树的最大关键字所在的节点
    SplayNode* RightTreeMin = R;        // 定义RightTreeMin指针指向右子树的最小关键字所在的节点

    while (Sp && key != Sp->value)                  // 自顶向下依次迭代伸展
    {
        if (key < Sp->value)        
        {
            if (Sp->left && key < Sp->left->value)          // 一字形旋转（左）的条件  
                Sp = SingleRotateWithLeft(Sp);
            if (!Sp->left)
                break;
            // 连接到R中，当不满足一字形旋转条件时，下面两句是直接执行单旋转
            RightTreeMin->left = Sp;                
            RightTreeMin = Sp;
            Sp = Sp->left;                      // 迭代往左
        }
        else
        {
            if (Sp->right && key > Sp->right->value)            // 一字形旋转（右）的条件
                Sp = SingleRotateWithRight(Sp);
            // 连接到L中，当不满足一字形旋转时，下面两句是直接执行单旋转
            if (!Sp->right)
                break;
            LeftTreeMax->right= Sp;
            LeftTreeMax = Sp;
            Sp = Sp->right;                     // 迭代往右
        }
    }

    // 重构树
    LeftTreeMax->right = Sp->left;
    RightTreeMin->left = Sp->right;
    Sp->left = L->right;
    Sp->right = R->left;

    return Sp;
}

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附伸展树实现及其相关操作C/C++

#include<iostream>
using namespace std;

#define ElementType int

typedef struct TreeNode {       // 定义树节点结构
    ElementType value;          // 关键字值
    TreeNode* left;             // 左孩子
    TreeNode* right;            // 右孩子
}SplayNode, *SplayTree;         

static SplayNode* NullNode = nullptr;   // 定义一个空节点静态局部变量，初始化为空指针

SplayTree Initialize()
{
    SplayTree Sp = new SplayNode;
    Sp->left = nullptr;
    Sp->right = nullptr;
    return Sp;
}

SplayTree SingleRotateWithLeft(SplayTree Sp)    // 一字形旋转（左）类似AVL单左旋
{
    SplayNode* X = Sp;      
    SplayNode* Y = Sp->left;    // 用X和Y标记树的根节点及左孩子
    X->left = Y->right;         // X的左孩子赋值为Y的右孩子
    Y->right = X;
    return Y;                   // 返回Y
}

SplayTree SingleRotateWithRight(SplayTree Sp)   // 一字形旋转（右）类似AVL单右旋
{
    SplayNode* X = Sp;
    SplayNode* Y = Sp->right;   // 用X和Y标记树的根节点及右孩子
    X->right = Y->left;         // X的右孩子赋值为Y的左孩子
    Y->left = X;
    return Y;                   // 返回Y
}

SplayTree Splay(SplayTree Sp, ElementType key)  // 自顶向下的展开过程
{
    SplayTree L = Initialize();     // 借助L和R实现展开过程
    SplayTree R = Initialize();

    SplayNode* LeftTreeMax = L;         // 定义LeftTreeMax指针指向左子树的最大关键字所在的节点
    SplayNode* RightTreeMin = R;        // 定义RightTreeMin指针指向右子树的最小关键字所在的节点

    while (Sp && key != Sp->value)                  // 自顶向下依次迭代伸展
    {
        if (key < Sp->value)        
        {
            if (Sp->left && key < Sp->left->value)          // 一字形旋转（左）的条件  
                Sp = SingleRotateWithLeft(Sp);
            if (!Sp->left)
                break;
            // 连接到R中，当不满足一字形旋转条件时，下面两句是直接执行单旋转
            RightTreeMin->left = Sp;                
            RightTreeMin = Sp;
            Sp = Sp->left;                      // 迭代往左
        }
        else
        {
            if (Sp->right && key > Sp->right->value)            // 一字形旋转（右）的条件
                Sp = SingleRotateWithRight(Sp);
            // 连接到L中，当不满足一字形旋转时，下面两句是直接执行单旋转
            if (!Sp->right)
                break;
            LeftTreeMax->right= Sp;
            LeftTreeMax = Sp;
            Sp = Sp->right;                     // 迭代往右
        }
    }

    // 重构树
    LeftTreeMax->right = Sp->left;
    RightTreeMin->left = Sp->right;
    Sp->left = L->right;
    Sp->right = R->left;

    return Sp;
}

SplayTree Insert(SplayTree Sp, ElementType key)     // 向伸展树中插入关键字key
{
    static SplayNode* NewNode = nullptr;
    if (!NewNode)
    {
        NewNode = new SplayNode;
    }
    NewNode->value = key;
    if (!Sp)
    {
        Sp = Initialize();
        Sp->value = key;
    }
    else
    {
        Sp = Splay(Sp, key);    // 展开
        if (key < Sp->value)
        {
            NewNode->left = Sp->left;
            NewNode->right = Sp;
            Sp->left = nullptr;
            Sp = NewNode;
        }
        else if (key > Sp->value)
        {
            NewNode->right = Sp->right;
            NewNode->left = Sp;
            Sp->right = nullptr;
            Sp = NewNode;
        }
        else
            return Sp;      // 关键字已经在树中
    }

    NewNode = nullptr;
    return Sp;
}

void Preorder(const SplayTree &Sp)      // 先序遍历树
{
    if (Sp != nullptr)
    {
        cout << Sp->value << " ";
        Preorder(Sp->left);
        Preorder(Sp->right);
    }
}

void Find(SplayTree &Sp, ElementType key)       // 在伸展树中查找关键字key
{
    if (Sp == nullptr)
    {
        cout << "Empty Tree\n";
        return;
    }
    else
    {
        Sp = Splay(Sp, key);    // 展开

        if (key == Sp->value)
        {
            cout << Sp->value<<" Has been Found!" << endl;
        }
        else
        {
            cout << "The number is not in the tree.\n";
        }
    }
}

SplayTree Delete(SplayTree Sp, ElementType key)
{
    SplayTree NewTree = Initialize();
    if (Sp != nullptr)
    {
        Sp = Splay(Sp, key);        // 按关键字key展开树，使带key节点成为新的根节点
        if (key == Sp->value)
        {
            if (Sp->left == nullptr)    // 如果调整后的伸展树左孩子为空，
                NewTree = Sp->right;    // 则newTree为其右孩子
            else
            {
                //NewTree = Sp->left;       // 新树的根节点指向旧树的左孩子
                NewTree = Splay(Sp->left, key); // 重新按照key调整新树
                NewTree->right = Sp->right; // 新树的右孩子指向旧树的右孩子
            }
            delete Sp;
        }
    }
    return NewTree;
}

int main()
{
    int A[] = { 16,13,18,15,24,20,30,5,25,12,2 };
    SplayTree SpTree = nullptr;
    for (int i = 0;i < sizeof(A) / sizeof(int);i++)
    {
        SpTree = Insert(SpTree, A[i]);
    }

    cout << "The preorder print of the Tree is: \n";
    Preorder(SpTree);
    int number;
    cout << "\nInput a number to find:\n";
    cin >> number;
    Find(SpTree, number);
    cout << "The preorder print of the Tree is: \n";
    Preorder(SpTree);

    cout << "\nDelete the number " << number << " from the tree.\n";
    SpTree = Delete(SpTree, number);
    cout << "The preorder print of the Tree is: \n";
    Preorder(SpTree);
    cout << endl;
    system("pause");
    return 0;
}

运行结果

The preorder print of the Tree is:
2 5 12 13 25 24 18 15 16 20 30
Input a number to find:
16
16 Has been Found!
The preorder print of the Tree is:
16 5 2 13 12 15 24 18 20 25 30
Delete the number 16 from the tree.
The preorder print of the Tree is:
15 13 5 2 12 24 18 20 25 30
请按任意键继续. . .

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参考资料

Mark Allen Weiss: 数据结构与算法分析