快速求平方根算法

对于一个整数求解其平方根可以使用“二分法”和“牛顿法”。

二分法算法：

给定精确度ξ,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:

1 确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ξ.

2 求区间(a,b)的中点c.

3 计算f(c).

(1) 若f(c)=0,则c就是函数的零点;

(2) 若f(a)·f(c)<0,则令b=c;

(3) 若f(c)·f(b)<0,则令a=c.

(4) 判断是否达到精确度ξ:即若|a-b|<ξ,则得到零点近似值a(或b),否则重复2-4.

c++代码如下：

//二分法求根
cout<<"请输入一个需要求平方根的数：";
unsigned int n;
scanf("%d", &n);

double last = 0;
double left = 0;
double right = n;
double mid = left + (right - left)/2;
do
{
  if(mid > n / mid)
   right=mid;
  else
   left=mid;

last = mid;
mid = left + (right - left)/2;

}while(fabsf(mid-last) > eps); //求浮点数x的绝对值
printf("%d的平方根为%f", n, mid);

牛顿迭代法逼近算法：

牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。另外该方法广泛用于计算机编程中。

设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。

过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。

根据牛顿迭代的原理，可以得到以下的迭代公式：X(n+1)=[X(n)+p/Xn]/2

c++代码如下

牛顿迭代法测试
cout<<"请输入一个需要求平方根的数：";
int n;
double fn = 1;
scanf("%d", &n);
//公式:X(n+1) = (X(n) + n/x(n))/2
// fn = (fn + n/fn)/2;
double newFn = (fn + n/fn)/2;
cout<<"====================="<<endl;
while (fabs(newFn - fn) >= 1e-5)
{
  printf("%f\n", newFn);
  fn = newFn;
  newFn = (fn + n/fn)/2;
}
printf("%d平方根为%f\n",n, fn);

吐槽一下：cadn最近文章的编辑各种bug，极难用，时候换一个博客了。

快速求平方根算法

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