Bresenham整数追逐算法

近来买了一本讲游戏AI的入门书，在这里记录一下的自己的学习过程。不得不吐槽的是，对于游戏中的算法，相关解释给的很是简略而且不准确（或者说是不对，可能是翻译的锅！），而且游戏中给出的是算法的升级版！更坑爹的是，竟然是升级版的简单改造版！这就让读者的理解成本变高，很不友好啊。

今天讲讲追逐算法，最基础的方法莫过于下面的代码了：

if(predatorCol > preyCol)
	predatorCol--;
else if(predatorCol < preyCol)
	predatorCol++;
if(predatorRow > preyRow)
	predatorRow--;
else if(predatorRow < preyRow)
	predatorRow++;

这个方法有个问题，就是追逐着会首先按照对角线行走，然后按照直线的方向行走。这在玩家看来，无疑是很狗血的，这样会显得敌人十分愚蠢，因为我们都知道两点之间线段最短，敌人为什么不直接朝我走来呢？

基于此，我们有了接下来要讲的算法，Bresenham算法，这里是在砖块环境下的追逐，即追逐者和猎物的坐标都保存在一个整型的二维数组中。值得一提的是，Bresenham算法是计算机图形学领域使用最广泛的直线扫描转换方法。

这里假设直线的斜率k在0到1之间(如果k > 1，则采取对应的算法)，起点坐标x1，y1，终点坐标x2，y2。横轴间距Δx = x2 - x1 大于纵轴间距Δy = y2 - y1。因此我们要在这两点这件画一条近似直线的路径，只需要考虑在追逐者“横行”时，需不需要“纵行”即可。假设当前坐标为（xi, yi），那么下一步的坐标可能为(xi + 1, yi)或者(xi + 1, yi + 1)。

上面橙线为起点到终点的直线，我们目前的问题是当追逐者走到横坐标为xi + 1，纵坐标为yi 还是 yi + 1呢？Bresenham算法是要比较一下dy1与dy2的大小。如果dy1小，则上面的点距直线更近；反之则下面的点距直线更近。

图片来源于：https://blog.csdn.net/natsu1211/article/details/17004375

如果按照上面的方法选好了点，也就能够确定了追逐者的路径。总的来说，整个过程是这样的。误差d，由dy1和dy2转换而来，如图所示。只要d >= 0.5，即选择上方的点；否则选下方点。初值为0，每横向走一步d = d + k（在坐标轴中，直线每次走的横向距离为单位距离1，纵坐标增加k，k = Δy / Δx），当d >= 0.5，则减去1。

这里呢，我们做个小改进，令e = d - 0.5。相应地，e初值为-0.5，每横向走一步e = e + k，当e >= 0，则减去1。这样的好处在于我们只需要判断e的正负即可，而不必与0.5做比较。

但我们如此就满足了吗！不！再审视一下这个式子，斜率用到了除法，相加用到了浮点运算，为了便于硬件运算和提高速度，我们令e' = e * 2 * Δx。那么e'初值为-Δx，每横向走一步e' = e' + 2 * Δy。当e' >= 0，则减去2 * Δx。

下面是我用C++的简单实现，与书中代码略有不同：

#include<iostream>
#include<cmath>

using namespace std;

int main(){

	int map[30][30], pathRow[30], pathCol[30];
	int i, j;
	int col = 20, row = 2;
	int endCol = 4, endRow = 24;
	int nextCol = col, nextRow = row;
	int deltaRow = endRow - row, deltaCol = endCol - col;
	int stepCol, stepRow, currentStep;
	int recordCol, recordRow;
	float d = 0, k, e;
	//初始路径设定
	for(i = 0; i < 30; i++){
		for(j = 0; j < 30; j++){
			map[i][j] = -1;
		}
	}
	for(currentStep = 0; currentStep < 900; currentStep++){
		pathRow[currentStep] = -1;
		pathCol[currentStep] = -1;
	}
	currentStep = 0;
	//路径方向计算
	if(deltaRow < 0) stepRow = -1; else stepRow = 1;
	if(deltaCol < 0) stepCol = -1; else stepCol = 1;
	recordCol = abs(deltaCol);
	recordRow = abs(deltaRow);
	deltaRow = abs(deltaRow * 2);
	deltaCol = abs(deltaCol * 2);
	pathRow[currentStep] = nextRow;
	pathCol[currentStep] = nextCol;
	currentStep++;
	//Bresenham算法
	if(deltaCol > deltaRow){
		e = -0.5;
		k = abs(deltaRow) * 1.0 / abs(deltaCol);
		while(nextCol != endCol){	
			//d = d + k;
			e = e + k;
			if(e > 0){
				nextRow = nextRow + stepRow;
				e -= 1;
			}
			nextCol = nextCol + stepCol;
			pathRow[currentStep] = nextRow;
			pathCol[currentStep] = nextCol;
			currentStep++;
		}
	}else{
		e = -0.5;
		k = abs(deltaCol) * 1.0 / abs(deltaRow);
		while(nextRow != endRow){
			e = e + k;
			if(e > 0){
				nextCol = nextCol + stepCol;
				e -= 1;
			}
			nextRow = nextRow + stepRow;
			pathRow[currentStep] = nextRow;
			pathCol[currentStep] = nextCol;
			currentStep++;
		}
	}
	//更改地图
	//起点为2, 终点为3 
	for(i = 0; i < currentStep; i++){
		if(pathRow[i] == row && pathCol[i] == col)
			map[pathRow[i]][pathCol[i]] = 2;
		else if(pathRow[i] == endRow && pathCol[i] == endCol)
			map[pathRow[i]][pathCol[i]] = 3;
		else map[pathRow[i]][pathCol[i]] = 1;
	} 
	//打印
	for(i = 0; i < 30; i++){
		for(j = 0; j < 30; j++){
			if(map[i][j] == -1) cout << "■";
			else if(map[i][j] == 2) cout << "☆";
			else if(map[i][j] == 3) cout << "★";
			else cout << "□";
		}
		cout << '\n';
	}
}

运行结果如下图：

Bresenham整数追逐算法

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