跳蚤
题目描述
Z城市居住着很多只跳蚤。在Z城市周六生活频道有一个娱乐节目。一只跳蚤将被请上一个高空钢丝的正中央。钢丝很长，可以看作是无限长。节目主持人会给该跳蚤发一张卡片。卡片上写有N+1个自然数。其中最后一个是M，而前N个数都不超过M，卡片上允许有相同的数字。跳蚤每次可以从卡片上任意选择一个自然数S，然后向左，或向右跳S个单位长度。而他最终的任务是跳到距离他左边一个单位长度的地方，并捡起位于那里的礼物。
比如当N=2，M=18时，持有卡片(10, 15, 18)的跳蚤，就可以完成任务：他可以先向左跳10个单位长度，然后再连向左跳3次，每次15个单位长度，最后再向右连跳3次，每次18个单位长度。而持有卡片(12, 15, 18)的跳蚤，则怎么也不可能跳到距他左边一个单位长度的地方。
当确定N和M后，显然一共有$M^N$张不同的卡片。现在的问题是，在这所有的卡片中，有多少张可以完成任务。
输入输出格式
输入格式：
输入文件有且仅有一行，包括用空格分开的两个整数N和M。
输出格式：
输出文件有且仅有一行，即可以完成任务的卡片数。
$1\leq N\leq M\leq 10^8$且$M^N\leq10^{16}$
输入输出样例
说明
这12张卡片分别是：
(1, 1, 4), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (1, 4, 4), (2, 1, 4), (2, 3, 4),
(3, 1, 4), (3, 2, 4), (3, 3, 4), (3, 4, 4), (4, 1, 4), (4, 3, 4)
分析：
大力推结论的数学题。
大部分人好像都是用莫比乌斯函数做的，这里博主用的是大力推结论+容斥原理。
推这道题的过程是真的有点意思，一步一步来：
首先，我们要知道能跳到目标位置的情况是什么。这个用裴蜀定理可以推出，向某一方向可以跳的距离一定是使用了的数字的最大公约数的倍数。那么我们也就知道了，能跳到左边一个单位的情况就是$n+1$个数字中至少有一对互质的数。
但是我们直接求这种情况似乎太难了，不如反过来，用所有情况数减去不能跳到的情况。那么我们就要想，怎么去计算不能跳到的情况。
显然，选的数的最大公约数一定要大于$1$。而且题目又限定了第$n+1$个数字是$m$，那么我们就把所有的$m$的质因数拿来操作。
怎么操作呢？先选取一个质因数，然后把所有$\leq m$的包含这个质因数的数的个数求出，然后用总情况数减去这些数构成的卡片的情况数。
这样貌似就已经可以了，但是博主交上去，$20pts$。。。
为什么？因为会减去重复的情况。这里举个例：$n=2,m=12$，$m$的质因数有$2,3$。其中取$2$操作时有这种情况：$6,6,12$，而取$3$操作时也有这种情况！
所以这里需要用容斥原理把重复情况加回来。具体的实现博主不太好解释，就看代码感性理解一下吧。
跑了$607ms$，略慢。
Code：
//It is made by HolseLee on 9th Sep 2018 //luogu.org P2231 #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long ll; ll n,m,ans,q[57],top,cnt; bool vis[100000001]={0}; inline ll read() { char ch=getchar(); ll num=0; bool flag=false; while( ch<'0' || ch>'9' ) { if( ch=='-' ) flag=true; ch=getchar(); } while( ch>='0' && ch<='9' ) { num=num*10+ch-'0'; ch=getchar(); } return flag ? -num : num; } inline ll power(ll x,ll y) { ll ret=1; while( y ) { if( y&1 ) ret*=x; y>>=1, x*=x; } return ret; } int main() { n=read(); m=read(); ll now=m; for(ll i=2; i*i<=now; ++i) { if( now%i==0 ) { q[++top]=i; while( now%i==0 ) now/=i; } } if( now>1 ) q[++top]=now; ans=power(m,n); for(ll i=1; i<=top; ++i){ ans-=power(m/q[i],n); cnt=0; for(ll j=q[i]; j<=m; j+=q[i]) { if( vis[j] ) { cnt++; continue;} vis[j]=1; } ans+=power(cnt,n); } printf("%lld\n",ans); return 0; }