JZOJ-senior-1902. 【2010集训队出题】小Z的袜子

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Description

　　作为一个生活散漫的人，小Z每天早上都要耗费很久从一堆五颜六色的袜子中找出一双来穿。终于有一天，小Z再也无法忍受这恼人的找袜子过程，于是他决定听天由命……
　　具体来说，小Z把这N只袜子从1到N编号，然后从编号L到R(L 尽管小Z并不在意两只袜子是不是完整的一双，甚至不在意两只袜子是否一左一右，他却很在意袜子的颜色，毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬。
　　你的任务便是告诉小Z，他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子。当然，小Z希望这个概率尽量高，所以他可能会询问多个(L,R)以方便自己选择。

Input

　　输入文件第一行包含两个正整数N和M。N为袜子的数量，M为小Z所提的询问的数量。
　　接下来一行包含N个正整数Ci，其中Ci表示第i只袜子的颜色，相同的颜色用相同的数字表示。
　　再接下来M行，每行两个正整数L，R表示一个询问。

Output

　　输出文件包含M行，对于每个询问在一行中输出分数A/B表示从该询问的区间[L,R]中随机抽出两只袜子颜色相同的概率。若该概率为0则输出0/1，否则输出的A/B必须为最简分数。（详见样例）

Sample Input

6 4
1 2 3 3 3 2
2 6
1 3
3 5
1 6

Sample Output

2/5
0/1
1/1
4/15

Hint

【样例解释】
　　询问1：共C(5,2)=10种可能，其中抽出两个2有1种可能，抽出两个3有3种可能，概率为(1+3)/10=4/10=2/5。
　　询问2：共C(3,2)=3种可能，无法抽到颜色相同的袜子，概率为0/3=0/1。
　　询问3：共C(3,2)=3种可能，均为抽出两个3，概率为3/3=1/1。
　　注：上述C(a, b)表示组合数，组合数C(a, b)等价于在a个不同的物品中选取b个的选取方案数。

【数据范围】
　　30%的数据中 N,M ≤ 5000；
　　60%的数据中 N,M ≤ 25000；
　　100%的数据中 N,M ≤ 50000，1 ≤ L < R ≤ N，Ci ≤ N。

Solution

普通莫队算法

算法前提：

若可以在 $O(1)$ 时间内把 $[l,r]$ 的询问转移到 $[l-1,r],[l+1,r],[l,r-1],[l,r+1]$ 询问，而且不需要修改操作，那么就可以使用莫队算法。

算法核心:

假如有一个询问 $[l,r]$ 要转移到一个询问 $[l1,r1]$ ，那么需要的时间为 $O(|l1−l|+|r1−r|)$ ，在算法前提下，可以用暴力转移。

但是可以发现有时候有些点会被来回算很多次，这样大量浪费了时间，于是莫涛大神就想到了一个方法，把这些询问离线的排一次序，让有些点可以被算的次数少一些。

算法流程

先把序列中的所有点按照 $\sqrt{N}$ 来分块，然后所有询问的左端点所在的块为第一关键字，右端点为第二关键字，然后做一次双关键字排序，再用暴力转移即可。

时间复杂度分析

普通莫队的时间复杂度为 $O(N\sqrt{N})$

角度一：看右端点。一个块的 $r$ 最多到 $n$ ，每次从上一个块到达下一个块的 $r$ 复杂度为 $O(n)$ ，一共有 $\sqrt{n}$ 个块，所以复杂度为 $O(n\sqrt{n})$ 。

角度二：看左端点。每次左端点从一个块到另一个块的复杂度为 $O(\sqrt{n})$ 。在每一块中左指针的移动总量是 $O(q\sqrt{n})$ ，q是落在那个块的查询的数量。所以，对于所有的块，总的复杂度为 $O(n\sqrt{n})$ 。

一些算法的限制

1、如前所述，该算法是离线的，这意味着当我们被强制按照特定的顺序查询时，我们不能再使用它。
2、有时加入删除操作比较困难会带个 $log$ ，复杂度就会退化为 $O(nlogn\sqrt{n})$ 。不过有时这样连 $10^5$ 都能过。
3、如果有待修改的话，就要用到待修改的莫队。
其余的离线题目几乎都可以做。

对于这道题

这里写图片描述
维护一个 $s[i]$ 表示在当前区间中每种颜色出现的次数，知道区间是哪一段的时候，答案的分母就知道了，那么我们只需要暴力维护分子，最后约分一下就好啦。

Code

#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>

#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define ll long long
#define N 50010

using namespace std;

int n,m,len;
int s[N],c[N],be[N];
ll g,ans;

struct node
{
    int l,r,id;
    ll a,b;
}q[N];

ll gcd(ll a,ll b)
{
    if(!b) return a;
    else return gcd(b,a%b);
}

bool cmp(node x,node y)
{
    return be[x.l]==be[y.l]?x.r<y.r:x.l<y.l;
}

bool cmq(node x,node y)
{
    return x.id<y.id;
}

void get(int x,int ad)
{
    ans-=sqr(s[c[x]]);
    s[c[x]]+=ad;
    ans+=sqr(s[c[x]]);
}

int main()
{
    freopen("sock.in","r",stdin);
    freopen("sock.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m),len=sqrt(n);
    fo(i,1,n) scanf("%d",&c[i]),be[i]=(i-1)/len+1;
    fo(i,1,m) scanf("%d%d",&q[i].l,&q[i].r),q[i].id=i;
    sort(q+1,q+1+m,cmp);
    int l=1,r=0;
    fo(i,1,m)
    {
        while(l<q[i].l) get(l,-1),l++;
        while(l>q[i].l) get(l-1,1),l--;
        while(r>q[i].r) get(r,-1),r--;
        while(r<q[i].r) get(r+1,1),r++;
        if(q[i].l==q[i].r)
        {
            q[i].a=0,q[i].b=1;
            continue;
        }
        int e=q[i].r-q[i].l+1;
        q[i].a=ans-e,q[i].b=(long long)e*(e-1);
        g=gcd(q[i].a,q[i].b),q[i].a/=g,q[i].b/=g;
    }
    sort(q+1,q+1+m,cmq);
    fo(i,1,m) printf("%lld/%lld\n",q[i].a,q[i].b);
}