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题目大意:
在二维平面上给出n条不共线的线段(线段端点是整数),问这些线段总共覆盖到了多少个整数点。
解题分析:
用GCD可求的某条给定线段上有多少个整数点,理由如下:
GCD(n,m)为n与m的最大公约数,通过辗转相除法求得。令g=GCD(n,m); n=x*g, m=y*g.所以将横坐标分为g个x份,将纵坐标分为g个y份。所以,本题线段覆盖的整数点个数为 g+1 (因为包含端点,如果不包含端点就为 g-1 )。
但是这样求的的覆盖点数是包含重复点数的,所以我们可以对每条线段再遍历一次,求的它与它之后线段的不重复交点个数,然后用总的交点个数减去这些重复计算的交点,就是答案了。
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<iostream> #include<cmath> #include<vector> #include<queue> #include<set> #include<map> using namespace std; #define eps 1e-6 #define For(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++) #define Fore(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--) #define lson l,mid,rt<<1 #define rson mid+1,r,rt<<1|1 #define mkp make_pair #define pb push_back #define sz size() #define met(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) #define iossy ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0) //提高cin、cout的效率 #define fr freopen #define pi acos(-1.0) #define Vector Point typedef pair<int,int> pii; const long long linf=1LL<<62; const int iinf=1<<30; const double dinf=1e17; const int Mod=1e9+9; typedef long long ll; typedef long double ld; const int maxn=1000005; int n; struct Point{ ll x,y; int id; Point(ll x=0,ll y=0):x(x),y(y) {} Point operator - (const Point &a)const { return Point(x-a.x,y-a.y);} bool operator == (const Point &a)const { return x==a.x && y==a.y; } }; ll Cross(Vector a,Vector b){ //向量叉乘 return a.x*b.y-a.y*b.x; } ll Dot(Vector a,Vector b) { //向量相乘 return a.x*b.x+a.y*b.y; } bool onsg(Point p,Point a1,Point a2){ //判断点p是否在a1,a2组成的线段上 return Cross(a1-p,a2-p)==0 && Dot(a1-p,a2-p)<0; //共线且反向 } void ck(ll &c){ if(c>0) c=1; else if(c<0) c=-1; } int Ins(Point a1,Point a2,Point b1,Point b2){ //判断两个线段是否有交点 if(a1==b1 || a1==b2 || a2==b1 || a2==b2) return 1; //如果有端点相等,那么线段必然有交点 if(onsg(a1,b1,b2) || onsg(a2,b1,b2) || onsg(b1,a1,a2) || onsg(b2,a1,a2)) return 1; //如果有端点在另一条线段上,那么这两条线段必然有交点 ll c1=Cross(a2-a1,b1-a1),c2=Cross(a2-a1,b2-a1); //用c1*c2<0来判断b1,b2是否在a1~a2线段的两边 ll c3=Cross(b2-b1,a1-b1),c4=Cross(b2-b1,a2-b1); //用c3*c4<0来判断a1,a2是否在b1~b2线段的两边 ck(c1);ck(c2);ck(c3);ck(c4); return c1*c2<0 && c3*c4<0; } set<pair<ll,ll> >c; void chk(Point p,Vector v,Point q,Vector w){ //找到两条线段的交点坐标 Vector u=p-q; ll v1=Cross(w,u),v2=Cross(v,w); if(abs(v1*v.x)%v2!=0 || abs(v1*v.y)%v2!=0) return ; ll xx,yy; xx=p.x+v.x*v1/v2;yy=p.y+v.y*v1/v2; c.insert(mkp(xx,yy)); } struct segm{ Point p1,p2; }; segm ss[maxn]; Point p1,p2; void solve(){ iossy; cin>>n; int ans=0; For(i,1,n){ cin>>p1.x>>p1.y>>p2.x>>p2.y; ss[i].p1=p1;ss[i].p2=p2; ans+=__gcd(abs(ss[i].p2.x-ss[i].p1.x),abs(ss[i].p2.y-ss[i].p1.y))+1; }//利用gcd找出所有线段所能覆盖的整数点的总数 For(i,1,n){ c.clear(); //每次清空set For(j,i+1,n){ int ct=Ins(ss[i].p1,ss[i].p2,ss[j].p1,ss[j].p2); if(ct) chk(ss[i].p1,ss[i].p2-ss[i].p1,ss[j].p1,ss[j].p2-ss[j].p1); //如果线段i与线段j有交点的话,将线段i与线段i+1~n的所有不重复的整数交点个数找出来 } ans-=c.sz; } cout<<ans<<endl; } int main(){ int t=1; solve(); return 0; }
2018-09-09