题目描述
几乎整个Byteland王国都被森林和河流所覆盖。小点的河汇聚到一起，形成了稍大点的河。就这样，所有的河水都汇聚并流进了一条大河，最后这条大河流进了大海。这条大河的入海口处有一个村庄——名叫Bytetown
在Byteland国，有n个伐木的村庄，这些村庄都座落在河边。目前在Bytetown，有一个巨大的伐木场，它处理着全国砍下的所有木料。木料被砍下后，顺着河流而被运到Bytetown的伐木场。Byteland的国王决定，为了减少运输木料的费用，再额外地建造k个伐木场。这k个伐木场将被建在其他村庄里。这些伐木场建造后，木料就不用都被送到Bytetown了，它们可以在 运输过程中第一个碰到的新伐木场被处理。显然，如果伐木场座落的那个村子就不用再付运送木料的费用了。它们可以直接被本村的伐木场处理。
注意：所有的河流都不会分叉，也就是说，每一个村子，顺流而下都只有一条路——到bytetown。
国王的大臣计算出了每个村子每年要产多少木料，你的任务是决定在哪些村子建设伐木场能获得最小的运费。其中运费的计算方法为：每一块木料每千米1分钱。
编一个程序：
1．从文件读入村子的个数，另外要建设的伐木场的数目，每年每个村子产的木料的块数以及河流的描述。
2．计算最小的运费并输出。
输入
第1行：包括两个数 n（2<=n<=100），k（1<=k<=50,且 k<=n）。n为村庄数，k为要建的伐木场的数目。除了bytetown外，每个村子依次被命名为1，2，3……n，bytetown被命名为0。
接下来n行，每行3个整数 wi——每年i村子产的木料的块数 （0<=wi<=10000） vi——离i村子下游最近的村子（即i村子的父结点）（0<=vi<=n） di——vi到i的距离(千米)。（1<=di<=10000）
保证每年所有的木料流到bytetown的运费不超过2000,000,000分 50％的数据中n不超过20。
输出
输出最小花费，精确到分。
样例输入
4 2
1 0 1
1 1 10
10 2 5
1 2 3
样例输出
4
分析
树形结构并且求出最小代价，我们很容易想到树形DP，并且放 k 个伐木场才会有最小代价。
求出最小花费，需要确定这 k 个伐木场放在哪里。
考虑DP的状态定义，如果像之前定义的DP[u][j] 为以u为根节点的子树上放 j 个伐木场的最小代价，很快发现这样定义没有办法转移，因为我们不知道根节点是否放置了伐木场，那么，是否可以增加一个 0 1 维度表示根节点有无伐木场呢?显然，当前根节点不放置伐木场时，最小代价无法求出，因为我们不知道这个点的木材会送到哪里处理。
所以，我们可以定义DP[u][v][j]表示在以u为根节点的子树上放 j 个伐木场，且 u 能到达的最近的伐木场 v（包括 u）的最小代价。
状态转移：DP[u][v][j]=min(sum{dp[son of u][v][j’]}) （sum j’ = j )
这道题如果写多叉树的DP，实现过程会非常复杂，所以需要多叉转二叉(左儿子，右兄弟)。
最终状态转移：
若u点不放伐木场：
DP[u][v][j]=min(DP[lch][v][[j’]+DP[rch][v][j-j’]+w[u]*d[u][v]);
u点不放伐木场，所以要加上u->v的代价。
若u点放伐木场：
DP[u][v][j]=min(DP[lch][u][[j’]+DP[rch][v][j-j’-1]);
代码
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
#define MAXN 100
#define MAXK 50
#define INF 0x3f3f3f3f
struct node
{
int lch,rch,num,d;
}e[MAXN+5];
int d[MAXN+5],fa[MAXN+5];
int ch[MAXN+5],ta[MAXN+5],r;
int dp[MAXN+5][MAXN+5][MAXK+5];
int n,K;
void DFS(int u,int dl)
{
ta[++r]=u;
d[u]=dl+e[u].d;
for(int i=e[u].lch;i;i=e[i].rch)
DFS(i,d[u]);
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&K);
fa[0]=-1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d%d%d",&e[i].num,&fa[i],&e[i].d);
if(!ch[fa[i]])
e[fa[i]].lch=i;
else e[ch[fa[i]]].rch=i;
ch[fa[i]]=i;
}
DFS(0,0);
memset(dp,INF,sizeof dp);
memset(dp[0],0,sizeof dp[0]);
for(int i=r;i>1;i--)
{
int u=ta[i];
int ls=e[u].lch,rs=e[u].rch;
for(int j=fa[u];j!=-1;j=fa[j])
for(int k=0;k<=K;k++)
{
for(int l=0;l<=k;l++)
if(dp[ls][j][l]!=INF&&dp[rs][j][k-l]!=INF)
dp[u][j][k]=min(dp[u][j][k],dp[ls][j][l]+dp[rs][j][k-l]+e[u].num*(d[u]-d[j]));
for(int l=0;l<k;l++)
if(dp[ls][u][l]!=INF&&dp[rs][j][k-l-1]!=INF)
dp[u][j][k]=min(dp[u][j][k],dp[ls][u][l]+dp[rs][j][k-l-1]);
}
}
printf("%d\n",dp[e[0].lch][0][K]);
}