分治入门——平面分治

分治思想：划分子问题，解决子问题，合并子问题

题目：UVA 10245
题意：在一个二维平面内给定n个点，求最近的两个点的距离。（n≤10000）

题解：直接暴力枚举所有点是肯定行不通的。那么基于分治的思想：按照横坐标排序后，分成两个部分，那么最近距离的点对就是以下的情况
（1）两个点均属于一个区域
（2）两个点属于不同区域

对于（1）的情况，我们可以直接递归求得，因此关键在于对于第二情况的处理，直接处理的话并没有比原来问题简单多少。因此将（2）的描述修改一下

(·2)两个点来自不同区域，并且横坐标距离＜d（d为情况（1）的最小长度）

在（2）的基础上加了横坐标距离＜d的限制。因为在（1）之中我们已经找到了最短距离d，因此横坐标距离 ≥ d也就无需再考虑。

首先，所有的点已经以横坐标为关键字排序完成，取划分界限mid，从mid往左枚举到mid的横坐标距离＜d的点，再枚举mid往右边走到mid的横坐标距离＜d的点，对它们进行一一配对求得答案。就把整个平面缩成了[mid-d, mid+d]，只需要考虑区间里面的点即可。

（或许大家比较担心一种情况，万一初现这个区间内的点很多呢？但是书的回答是：“d经过了很多次的递归变得很小，所以不考虑”）

这样，递归的深度是O(logn)，每层处理复杂度为O(n)，而总的时间复杂度就是O(nlogn)

源代码：

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1e4+5;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
struct node
{
    double x, y;
}a[N];

bool cmpx(node a, node b)
{
    return a.x<b.x;
}

double dist(node a, node b)
{
    return sqrt(pow(a.x-b.x, 2)+pow(a.y-b.y, 2));
}

double solve(int l, int r)
{
    if(l==r)    return inf;
    if(l+1==r)  return dist(a[l], a[r]);

    //划分解决
    int mid = (l+r)>>1;
    double st = a[mid].x;//划分依据
    double d = min(solve(l, mid), solve(mid+1, r));

    //在矩形空间内，左边的点跟右边的点一一匹配，合并
    for(int i = mid; i >= l && st-a[i].x < d; i --)
        for(int j = mid+1; j <= r && a[j].x-st < d; j ++)
            d = min(d, dist(a[i], a[j]));

    return d;
}

int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d", &n), n)
    {
        for(int i = 0; i < n; i ++)
            scanf("%lf%lf", &a[i].x, &a[i].y);
        sort(a, a+n, cmpx);
        double ans = solve(0, n-1);
        if(ans<10000.0) printf("%.4f\n", ans);
        else puts("INFINITY");
    }
    return 0;
}