【POJ1845】Sumdiv（数论/约数和定理/等比数列二分求和）

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题目：

POJ1845

分析：

首先用线性筛把$A$分解质因数，得到：

$$A=p_1^{a_1}*p_2^{a_2}...*p_n^{a_n} (p_i是质数且a_i>0)$$
则显然 $A^B$分解质因数后为
$$A=p_1^{a_1B}*p_2^{a_2B}...*p_n^{a_nB} (p_i是质数且a_i>0)$$

接下来隆重推出约数和定理：（证明见【知识总结】约数个数定理和约数和定理及其证明)

$$Sum=\prod_{i=1}^n \sum_{j=0}^{a_i}p_i^j$$
那么很明显可以对于每一个 $p_i$计算 $p_i^0+p_i^1...+p_1^{a_iB}$然后乘起来就是答案。这就是一个等比数列求和了。
等比数列求和公式中含有除法，所以取模求和的时候不能直接用求和公式，否则如果除数刚好是模数的倍数就会出现逆元不存在的尴尬情况……例如POJ该题讨论区中的数据 $59407 \ 1$ ( $59407=9901*6+1$，求和公式中除数是 $59406$，此数在模 $9901$意义下没有逆元)

这里介绍一种二分等比数列求和的方法，思路和快速幂相似，即代码中的$powersum$函数
可以把这个等比数列平分成长度相等的两部分。
当$n$是偶数

$$(p_i^0+p_i^1...+p_i^{n/2})+(p_i^{n/2+1}+p_i^{n/2+2}...+p_i^n)$$
然后从后半部分提出一个 $p_i^{n/2+1}$，它就和偶数部分一样了！得到
$$(p_i^0+p_i^1...+p_i^{n/2})*(p_i^{n/2+1}+1)$$
显然左边可以递归地算下去，右边用快速幂求出。
当 $n$是奇数，只要上述 $n/2$均向下取整，算完以后加上 $p_i^n$就可以了。这个也可以用快速幂解决。

代码：

$powersum$函数求的是$\sum_{j=1}^{a_i}p_i^j$，所以最后统计答案的时候要手动加上$p_i^0$ (也就是$1$)
筛质数时有一个小技巧。并不需要筛出$5e7$范围内的所有质数。x不可能含有两个或以上大于$\sqrt x$的质因数，所以$x$除以$\sqrt{5e7}$范围内的所有质数后如果仍不为$1$，那么此时剩下的$x$一定是一个质数
我才不会告诉你模数叫QQ_kotori是为了膜某位n姓QQ小嘴/复读机

#include <iostream>
using namespace std;

namespace zyt
{
    typedef long long ll;
    const int QQ_kotori = 9901;
    const int M = 7100;
    ll prime[M], index[M];
    int cnt;
    void init_prime(ll x)
    {
        static bool mark[M];
        for (int i = 2; i < M && x > 1; i++)
        {
            if (!mark[i])
            {
                ll tmp = 0;
                prime[cnt] = i;
                while (x % i == 0)
                    tmp++, x /= i;
                index[cnt++] = tmp;
            }
            for (int j = 0; j < cnt && i * prime[j] < M; j++)
            {
                ll k = i * prime[j];
                mark[k] = true;
                if (i % prime[j] == 0)
                    break;
            }
        }
        if (x > 1)
        {
            prime[cnt] = x;
            index[cnt++] = 1;
        }
    }
    ll power(ll a, ll b)
    {
        ll ans = 1;
        while (b)
        {
            if (b % 2)
                ans = ans * a % QQ_kotori;
            a = a * a % QQ_kotori;
            b /= 2;
        }
        return ans;
    }
    ll powersum(ll a, ll b)
    {
        if (b == 1)
            return a % QQ_kotori;
        ll ans = powersum(a, b / 2) * (1 + power(a, b / 2)) % QQ_kotori;
        if(b % 2)
            ans = (ans + power(a, b)) % QQ_kotori;
        return ans;
    }
    void work()
    {
        ll a, b, ans = 1;
        cin >> a >> b;
        if (a == 0)
        {
            cout << 0;
            return;
        }
        else if (b == 0)
        {
            cout << 1;
            return;
        }
        init_prime(a);
        for (int i = 0; i < cnt; i++)
            if (index[i])
                ans = ans * (powersum(prime[i], index[i] * b) + 1) % QQ_kotori;
        cout << ans;
    }
}
int main()
{
    zyt::work();
    return 0;
}