2018.09.08 bzoj4518: [Sdoi2016]征途（斜率优化dp）

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传送门
把式子展开后发现就是要求：
$m*(\sum _{i=1} ^m sum'[i])-sum[n]^2$的最小值。
于是只需要求：
$m*(\sum _{i=1} ^m sum'[i])$的最小值。
于是设$f[i][j]$表示前i个分了j组的最小值。
显然有：
$f[i][j]=min(f[k][j-1]+(sum[i]-sum[k])^2)$
<=>
$f[i][j]=min(f[k][j-1]+sum[k]^2-2sum[i]*sum[k])+sum[i]^2$
对于两个决策$k1<k2$且k2比k1更优，有：
$f[k1][j-1]+sum[k1]^2-2sum[i]*sum[k1]$
>
$f[k2][j-1]+sum[k2]^2-2sum[i]*sum[k2]$
令$t[k]=f[k][j-1]+sum[k]^2$
=>
$(t[k1]-t[k2])/(sum[k1]-sum[k2])<2sum[i]$
果断斜率优化。
代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 3005
using namespace std;
inline ll read(){
    ll ans=0;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))ch=getchar();
    while(isdigit(ch))ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return ans;
}
int n,m,hd,tl,q[N];
ll sum[N],f[N][N];
inline double slope(int k,int i,int j){return 1.0*(f[i][k]+sum[i]*sum[i]-f[j][k]-sum[j]*sum[j])/(sum[i]-sum[j]);}
int main(){
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)sum[i]=sum[i-1]+read(),f[i][0]=1e18;
    for(int j=1;j<=m;++j){
        hd=tl=1,q[1]=0;
        for(int i=1;i<=n;++i){
            while(hd<tl&&slope(j-1,q[hd+1],q[hd])<2.0*sum[i])++hd;
            int k=q[hd];
            f[i][j]=f[k][j-1]+(sum[i]-sum[k])*(sum[i]-sum[k]);
            while(hd<tl&&slope(j-1,q[tl],q[tl-1])>slope(j-1,i,q[tl]))--tl;
            q[++tl]=i;
        }
    }
    cout<<(m*f[n][m]-sum[n]*sum[n]);
    return 0;
}