Loj#2035-[SDOI2016]征途【斜率优化】

正题

题目链接:https://loj.ac/problem/2035

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题目大意

$n$个数字分成 $m$段，要求方差最小。

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解题思路

首先方差的公式 $\sum_{i=1}^n(x_i-|x|)^2$
其中 $|x|$是不变的，定义 $w=|x|$
设 $f_{i,j}$表示已经分到第 $i$段，到第 $j$个时的最小方差和。

做前缀和 $s_i=\sum_{j=1}^ia_i$
之后有 $f_{k,i}=min\{f_{k-1,j}+(s_i-s_j)^2+w^2-2(s_i-s_j)w\}$
去掉 $min$拆括号
$f_{k,i}=f_{k-1,j}+s_i^2-2s_is_j+s_j^2+w^2-2s_iw+s_jw$
$f_{k,i}-s_i^2+s_iw+2s_is_j-2s_jw=f_{k-1,j}+s_j^2$
求 $f_{k,i}$最小就是 $f_{k,i}-s_i^2+s_iw$最小，后为了方便
定义 $F=f_{k,i}-s_i^2+s_iw$
$F+2(s_i-w)s_j=f_{k-1,j}+s_j^2$
然后有若干个决策点 $(s_j,f_{k-1,j}+s_j^2)$
每次有一条直线 $y=2(s_i-w)x+F$经过某个决策点要求 $F$最小
显然因为 $s_i-w$的单调性和 $s_j$的单调性我们可以使用单调队列维护一个下凸壳。

时间复杂度 $O(nm)$

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define pow2(x) ((x)*(x))
using namespace std;
const int N=3100;
struct node{
	double x,y;
	int num;
}q[N];
int n,m;
double s[N],f[N][N];
double slope(node x,node y)
{return (y.y-x.y)/(y.x-x.x);}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lf",&s[i]),s[i]=s[i]*m+s[i-1];
	double w=s[n]/m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		f[1][i]=pow2(s[i]-w);
	for(int k=2;k<=m;k++){
		int head=1,tail=1;
		q[1]=(node){s[k-1],f[k-1][k-1]+pow2(s[k-1]),k-1};
		for(int i=k;i<=n;i++){
			int z=2*(s[i]-w);
			while(head<tail&&slope(q[head],q[head+1])<z)head++;
			int p=q[head].num;
			f[k][i]=f[k-1][p]+pow2(s[i]-s[p]-w);
			node po=(node){s[i],f[k-1][i]+pow2(s[i]),i};
			while(head<tail&&slope(po,q[tail])<slope(q[tail-1],q[tail]))
				tail--;
			q[++tail]=po;
		}
	}
	printf("%.0lf",f[m][n]/m);
}