【Machine Learning, Coursera】机器学习Week5 理解神经网络（三）——参数求解

理解神经网络(Neural Networks)（三）

基础知识回顾：https://blog.csdn.net/weixin_42395916/article/details/81099945
实际应用回顾：https://blog.csdn.net/weixin_42395916/article/details/81160314

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根据前几周的内容我们知道，应用梯度下降法或者其他高级优化算法求解参数需要写出代码计算
1) $J(\Theta)$
2) $\frac{\partial}{\partial\Theta_{ij}^{l}}J(\Theta)$

本节介绍神经网络的代价函数及其偏导项的计算

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一、代价函数 Cost Function

本质上，神经网络是一种通过logistic模型，从旧特征中学习到新特征，经过一定层数的学习后最终输出分类结果的算法。因此，我们可以根据logistic回归的代价函数得到神经网络的代价函数。

逻辑回归的代价函数（含正则项）：

$$J(\theta)=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}[y^{(i)}log(h_\theta(x^{(i)}))+(1-y^{(i)})log(1-h_\theta(x^{(i)}))]+\frac{\lambda}{2m}\sum_{j=1}^{n}\theta_j^2$$

神经网络代价函数的表达与之类似，但由于神经网络分类结果是以单位列向量的形式输出的，计算代价函数时不仅需要对所有训练样本的cost求和，还要对每一类的cost求和。此外，正则项需要对每一层的除偏置项外的参数求和。

神经网络的代价函数（含正则项）：

$$J(\Theta)=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\sum_{k=1}^{K}[y_k^{(i)}log(h_\Theta(x^{(i)}))_k+(1-y_k^{(i)})log(1-h_\Theta(x^{(i)}))_k]+\frac{\lambda}{2m}\sum_{l=1}^{L-1}\sum_{i=1}^{s_{l}}\sum_{j=1}^{s_{l+1}}(\Theta_{ji}^{l})^2$$

其中，$(h_\Theta(x))_i$表示输出层的第i个输出结果，$h_\Theta(x)∈K$.

易错点：正则项中并不包含偏置项$(i,j = 0)$
$\\$

二、计算$\frac{\partial}{\partial\Theta_{ij}^{l}}J(\Theta)$

神经网络代价函数的偏导计算比较复杂，需要用到反向传播算法(backpropagation algorithm)。偏导的计算分为三步：
1) 前向传播算法计算各层激励值
2) 反向传播算法计算各层激励值的误差
3) 求偏导
$\\$

（一）前向传播算法

*前向传播算法具体参见：https://blog.csdn.net/weixin_42395916/article/details/81099945

以一个训练样本为例，令输入层的激励值$a^{(1)}=x$，运用前向传播算法得到每层的激励值$a^{(l)}$.

$\\$

（二）反向传播算法 Backpropagation Algorithm

线性回归和逻辑函数代价函数（不含正则项）求偏导结果形式均为

$$\frac{\partial}{\partial\theta_j}J(\theta)=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)}$$

括号内为计算值和实际值的误差。在神经网络算法中，将误差项记作$\delta^{(l)}_j$，它捕捉了l层第j个神经节点激励值的误差。我们用反向传播算法计算它。反向传播算法先计算输出层的$\delta$，然后计算上一层的$\delta$，重复该过程直至第二层。

首先计算输出层的误差，显然，就是激励值减去实际值。用向量形式可写作

$$\delta^{(4)}=a^{(4)}-y$$

接下来计算隐藏层的误差，计算方法见下图。根据sigmoid函数的性质，$g'(z^{(l)})=a^{(l)}.*(1-a^{(l)})$，所以有

$$\delta^{(3)}=(\Theta^{(3)})^T\delta^{(4)}.*a^{(3)}.*(1-a^{(3)})$$

$\\$
易错点：不用计算输入层的误差，因为这是我们在训练集中观察到的值，所以不存在误差。
$\\$

（三）$\frac{\partial}{\partial\Theta_{ij}^{l}}J(\Theta)=D_{ij}^{(l)}$

将上述内容整合起来，下图是根据激励值和误差得到$J(\Theta)$对$\Theta^{(l)}_{ij}$求偏导的值$D_{ij}^{(l)}$的详细流程（m个训练样本）.
完整的包含正则项的偏导数形式应为

$$\begin{align*} D_{ij}^{(l)}= \left \{ \begin{array}{l} \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(error\ of\ activation\ \delta^{(l+1)}_i)*(feature\ value\ a^{(l)}_j)+\frac{\lambda}{m}*(parameter\ value\ \Theta_{ij}^{l})\qquad &if\ j≠0 \\ \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(error\ of\ activation\ \delta^{(l+1)}_i)*(feature\ value\ a^{(l)}_j)\qquad &if\ j=0 \end{array} \right . \end{align*}$$

Step1: 初始化
给定m个训练样本，令$\Delta_{ij}^{(l)}=0$， 因此$\Delta^{(l)}$是一个零矩阵。它用于之后偏导数的计算。

Step2: 计算$\sum_{i=1}^m(error\ of\ activation)*(feature\ value)$
对训练样本t=1:m执行以下循环（下图中为i=1:m，但这个i和下面的角标i无关，有歧义，故改成t）:
1. 令$a^{(1)}:=x^{(t)}$
2. 执行前向传播算法得到每层的激励值$a^{(l)}$
3. 根据$y^{(t)}$，计算$\delta^{(L)}=a^{(L)}-y^{(t)}$
4. 根据$\delta^{(l)}=(\Theta^{(l)})^T\delta^{(l+1)}.*a^{(l)}.*(1-a^{(l)})$，计算$\delta^{(L-1)},\delta^{(L-2)},...\delta^{(2)}$
5. 累积偏导数项，$\Delta_{ij}^{(l)}:=\Delta_{ij}^{(l)}+a^{(l)}_j\delta^{(l+1)}_i$. 向量化表示为$\Delta^{(l)}:=\Delta^{(l)}+\delta^{(l+1)}(a^{(l)})^T$，它是偏导数矩阵

Step3: 计算$D_{ij}^{(l)}$
写出完整的偏导数表达式$D_{ij}^{(l)}$

注：图中有错，$D_{ij}^{(l)}:= \frac{1}{m}(\Delta^{(l)}_{ij}+\lambda\Theta^{(l)}_{ij})$ if j ≠0