「HDU 6314」Matrix「容斥」

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题意

对一个$n*m$的二维方格涂上黑白两色，求至少$a$行全黑，$b$列全黑的方案数.

题解

可以先考虑行，然后考虑二维就十分简单了.

我们用$g(k)$表示至少有$k$行全黑的方案数，容斥求一下：

$$g(k) = \sum_{i=k}^{n}f(i)*C_{n}^{i}*2^{n-i}$$

因为是至少，所以需要容斥，$C_n^i$表示$n$行选$i$行，$2^{n-i}$表示其中剩下的行状态随意，$f(k)$为容斥系数，我们需要递推出这个容斥系数.

每个行数为$j$的答案计算贡献只能算一次，所以：$\sum_{i=k}^{j} f(i)*C_{j}^{i} = 1$

$\sum_{i=k}^{n}f(i)*C_{n}^{i}$

$= \sum_{i=k}^{n-1} f(i)*C_{n}^{i}+f(n)$

$= \sum_{i=k}^{n-1} f(i)*(C_{n-1}^{i-1} + C_{n-1}^{i})+f(n)$

$= \sum_{i=k}^{n-1}(f(i)*C_{n-1}^{i-1} + f(i) * C_{n-1}^{i})+f(n)$

$= 1 + \sum_{i=k}^{n-1} f(i) * C_{n-1}^{i}+f(n)$

因为$\sum_{i=k}^{n}f(i)*C_{n}^{i}=1$，因此$f(n) = - \sum_{i=k}^{n-1} f(i)*C_{n-1}^{i-1}$

用$O(n^2)$和$O(m^2)$的时间递推出行列的容斥系数$f_a$与$f_b$，然后就可以得到答案的式子：

$ans=\sum_{i=a}^{n}\sum_{j=b}^{m} f_a(i)*C_{n}^{i}*f_b(j)*C_{m}^{j}*2^{(n-i)*(m-j)}$

#include <cstdio> 

const int MAXN = 3000;
const int MOD = 998244353;

int n, m, a, b;
int fa[MAXN + 10], fb[MAXN + 10];
int pow2[MAXN * MAXN + 10], c[MAXN + 10][MAXN + 10];

void init() {
    pow2[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= MAXN * MAXN; i ++)
        pow2[i] = (pow2[i - 1] * 2LL) % MOD;
    for(int i = 0; i <= MAXN; i ++) {
        c[i][0] = c[i][i] = 1;
        for(int j = 1; j < i; j ++)
            c[i][j] = (1ll * c[i-1][j-1] + c[i-1][j]) % MOD;
    }
}

void calc_f() {
    fa[a] = 1;
    for(int i = a + 1; i <= n; i ++) {
        fa[i] = 0;
        for(int j = a; j < i; j ++)
            fa[i] = (fa[i] + 1ll * c[i-1][j-1] * fa[j] % MOD) % MOD;
        fa[i] = ((-fa[i]) % MOD + MOD) % MOD;
    }
    fb[b] = 1;
    for(int i = b + 1; i <= m; i ++) {
        fb[i] = 0;
        for(int j = b; j < i; j ++)
            fb[i] = (fb[i] + 1ll * c[i-1][j-1] * fb[j] % MOD) % MOD;
        fb[i] = ((-fb[i]) % MOD + MOD) % MOD;
    }
}

int main() {
    init();
    while(~ scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &a, &b)) {
        calc_f();
        int ans = 0;
        for(int i = a; i <= n; i ++)
            for(int j = b; j <= m; j ++)
                ans = (ans + 1ll * fa[i] * c[n][i] % MOD * fb[j] % MOD * c[m][j] % MOD * pow2[(n - i) * (m - j)] % MOD) % MOD; 
        printf("%d\n", (ans % MOD + MOD) % MOD);
    }
    return 0;
}