A、代数部分
- 1、 繁分式化简分式 ：
\(\cfrac{\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}}{\frac{3}{ac}-\frac{1}{b}+\frac{4}{bc}}=\cfrac{(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c})\times abc}{(\frac{3}{ac}-\frac{1}{b}+\frac{4}{bc})\times abc}=\cfrac{bc+2ac+ab}{3b-ac+4a}\)；同乘
- 2、分式中负指数幂化为正指数幂：
\(\cfrac{a^x+a^{-x}}{a^x-a^{-x}}=\cfrac{(a^x+a^{-x})\times a^x}{(a^x-a^{-x})\times a^x}=\cfrac{a^{2x}+1}{a^{2x}-1}\)；同乘
- 3、齐次式变形，为函数求值域，三角函数化简、变形、求值做准备：
\(z=\cfrac{a+\sqrt{2}b}{\sqrt{2}a+b}\)；分子分母同除以\(b\)变形得到，\(z=\cfrac{\frac{a}{b}+\sqrt{2}}{\sqrt{2}\frac{a}{b}+1}\xlongequal{t=\frac{a}{b}}\cfrac{t+\sqrt{2}}{\sqrt{2}t+1}\)
\(z=\cfrac{2a^2+4ab-3b^2}{a^2+ab+b^2}\)；分子分母同除以\(b^2\)变形得到，\(z=\cfrac{2(\frac{a}{b})^2+4\frac{a}{b}-3}{(\frac{a}{b})^2+\frac{a}{b}+1}\xlongequal{t=\frac{a}{b}}\cfrac{2t^2+4t-3}{t^2+t+1}\)
关于\(\sin\theta、cos\theta\)的一次或二次齐次式，
比如：\(\cfrac{a\sin\theta+b\cos\theta}{c\sin\theta+d\cos\theta}\xlongequal[分子分母是sin\theta,cos\theta的一次齐次式]{分子分母同除以cos\theta}\cfrac{a\tan\theta+b}{c\tan\theta+d}\) (\(a,b,c,d\)为常数)；
小结：实现了二元\(sin\theta、cos\theta\)向一元\(tan\theta\)的转化；
比如：\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}=\cfrac{2sin\theta cos\theta-cos^2\theta}{2sin^2\theta+cos^2\theta}\xlongequal[分子分母是sin\theta,cos\theta的二次齐次式]{分子分母同除以cos^2\theta}\cfrac{2tan\theta-1}{2tan^2\theta+1}\)
小结：实现了二元\(sin\theta、cos\theta\)向一元\(tan\theta\)的转化；
再比如：\(a\sin2\theta+b\cos2\theta=\cfrac{a\sin2\theta+b\cos2\theta}{sin^2\theta+cos^2\theta}=\cfrac{a\tan\theta+b-b\tan^2\theta}{tan^2\theta+1}\)，
其余留作思考：\(\sin2\theta\)， \(\cos2\theta\)，\(1+\sin2\theta\)， \(2-\cos2\theta\)，\(3\sin2\theta-2\cos2\theta\) 等等
\(a^2-5ab+4b^2>0\)，不等式两端同除以\(b^2\)变形得到，\((\cfrac{a}{b})^2-5\cfrac{a}{b}+4>0\)，这样我们能得到\(\cfrac{a}{b}<1\)或\(\cfrac{a}{b}>4\)；二元变一元
- 4、除法分配律(分数裂项)
\(①\cfrac{b+c}{a}=\cfrac{b}{a}+\cfrac{c}{a}\)；
\(②\cfrac{a-b}{ab}=\cfrac{1}{b}-\cfrac{1}{a}\)；(分式变形时常用)
但是她更多的时候表示为整式形式，如\(a_n-a_{n+1}=ka_{n+1}a_n\)，
两边同除以\(a_{n+1}a_n\)，可以变形为\(\cfrac{1}{a_{n+1}}-\cfrac{1}{a_n}=k\)；
- 5、分子常数化(化为部分分式，也可以理解为使用了变量集中策略，这样的变形在研究函数的单调性，值域等问题时使用频度比较高)
\(①y=\cfrac{2x-1}{x-1}=\cfrac{(2x-2)+1}{x-1}=2+\cfrac{1}{x-1}\)；
\(②y=\cfrac{2x}{x+4}=\cfrac{2}{1+\frac{4}{x}}\)；
\(③y=\cfrac{a^x-1}{a^x+1}=\cfrac{(a^x+1)-2}{a^x+1}=1-\cfrac{2}{a^x+1}\)；
\(④y=\cfrac{2x^2-4x+3}{x-1}=\cfrac{2(x-1)^2+1}{x-1}=2(x-1)+\cfrac{1}{x-1}\)；
\(\hspace{1em}\) 引例2、已知函数\(f(x)=mlnx+x^2-mx\)在\((1，+∞)\)上单调递增，求m的取值范围____________．
【分析】由函数单调递增，转化为\(f'(x)≥0\)在\((1，+∞)\)上恒成立，然后分离参数得到\(m≤g(x)\)，用均值不等式求新函数\(g(x)\)的最小值即可。
【解答】由题目可知，\(f'(x)≥0\)在\((1，+∞)\)上恒成立，且\(f'(x)\)不恒为零，
则有\(f'(x)=\cfrac{m}{x}+2x-m=\cfrac{2x^2-mx+m}{x}≥0\)在\((1，+∞)\)上恒成立，
即\(2x^2-mx+m≥0\)在\((1，+∞)\)上恒成立，常规法分离参数得到
m≤\(\cfrac{2x^2}{x-1}=\cfrac{2(x-1)^2+4x-2}{x-1}=\cfrac{2(x-1)^2+4(x-1)+2}{x-1}=2(x-1)+\cfrac{2}{x-1}+4\)
由于\(x>1\)，故\(2(x-1)+\cfrac{2}{x-1}+4≥2\sqrt{4}+4=8\)，当且仅当\(x=2\)时取到等号。
故\(m≤8\)，当\(m=8\)时，函数不是常函数，也满足题意，故\(m≤8\)。
- 6、分母有理化，常常为数列中的裂项相消法准备：
①\(\cfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\cfrac{1\cdot(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}=\cfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}\)；
②\(\cfrac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}=\cfrac{1\cdot (\sqrt{x^2+1}+x)}{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}=\sqrt{x^2+1}+x\)；
【具体应用①】比如函数\(f(x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)\)，则可知\(f(-x)=ln(\sqrt{x^2+1}+x)\)，
即\(f(x)+f(-x)=ln1=0\)，即函数\(f(x)\)为奇函数；
那么函数\(f(x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)+1\)呢，同理可得，\(f(x)+f(-x)=2\)，即函数\(f(x)\)关于点\((0，1)\)对称。
【具体应用②】比如函数\(g(x)=lg(\sqrt{sin^2x+1}+sinx)\)，则可知\(g(-x)=lg(\sqrt{sin^2x+1}-sinx)\)，
即\(g(x)+g(-x)=lg1=0\)，即函数\(g(x)\)为奇函数；
③\(\cfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}=\cfrac{1\cdot (\sqrt{x^2+1}-x)}{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}=\sqrt{x^2+1}-x\)；
分子有理化，常常为求函数或数列的极限或大小比较而准备：
①\(\sqrt{a}-\sqrt{b}=\cfrac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{1\cdot (\sqrt{a}+\sqrt{b})}=\cfrac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)；
②\(\sqrt{n^2+1}-n=\cfrac{\sqrt{n^2+1}-n}{1}=\cfrac{(\sqrt{n^2+1}-n)(\sqrt{n^2+1}+n)}{1\cdot (\sqrt{n^2+1}+n)}=\cfrac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}\)；
引例，\(b=\sqrt{7}-\sqrt{3}\)，\(c=\sqrt{6}-\sqrt{2}\)，比较\(b、c\)的大小。
分析：\(b=\sqrt{7}-\sqrt{3}=\cfrac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{1}=\cfrac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}\)；
\(c=\sqrt{6}-\sqrt{2}=\cfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{1}=\cfrac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\)；
由于\(\sqrt{7}+\sqrt{3}>\sqrt{6}+\sqrt{2}\)，故\(\cfrac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}<\cfrac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\)，
即\(b<c\)。
- 7、配方，为二次函数对称轴，圆锥曲线方程等准备：①②③④⑤⑥
①\(a^2\pm ab+b^2=(a\pm \cfrac{b}{2})^2+\cfrac{3}{4}b^2\)；②\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\)；(常与韦达定理相关，与解析几何或坐标系与参数方程题目相关)
③\(x^2+\cfrac{1}{x^2}=(x+\cfrac{1}{x})^2-2\)；④\(y=ax^2+bx+c=a(x+\cfrac{b}{2a})^2+\cfrac{4ac-b^2}{4a}(a\neq 0)\)(二次函数对称轴)
⑤\(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=\cfrac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]\ge 0\)(与均值不等式相关，常引申为\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac(当且仅当a=b=c时取到等号)\))
- 8、因式分解、乘法公式，常与解方程，解不等式相关：
①\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)；②\((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\)；
③\(a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2\)；④\(a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)\)；
⑤\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)；⑥\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)；
实际高三数学教学和考试中的相关内容常常是这样的：
①\(x^2-5\sqrt{2}x+8\ge 0\)，即\((x-\sqrt{2})(x-4\sqrt{2})\ge 0\)；
②\(x^2-(2m+1)x+m^2+m-2\leq 0\)，即\([x-(m+2)][x-(m-1)]\leq 0\)；
③\(x^2-3mx+(m-1)(2m+1)\ge 0\)；即\([x-(m-1)][x-(2m+1)]\ge 0\)；
④\(x^2-(a+a^2)x+a^3\leq 0\)，即\((x-a)(x-a^2)\leq 0\)；
⑤\(x^2-(a+1)x+a\leq 0\)，即\((x-1)(x-a)\leq 0\)；
⑥\(x^2-(2a+1)x+a(a+1)\leq 0\)；即\((x-1)[x-(a+1)]\leq 0\)；
⑦\(\cfrac{x-2a}{x-(a^2+1)}<0(a\neq 1)\)；即\((x-2a)[x-(a^2+1)]<0\)，解集为\((2a，a^2+1)\)；
⑧\(x^2+(m+4)x+m+3<0\)，即\((x+1)[x+(m+3)]<0\)；
- 9、整体代换，常与函数的性质的变换和推导有关，
函数周期性中的变换
①、\(f(x+4)=f(x)\)或者\(f(x+2)=f(x-2)\Longrightarrow T=4\)；
②、\(f(x+a)=-f(x)\Leftrightarrow f(x+a)+f(x)=0\Longrightarrow T=2a\;\;\;\;\;\)
推导：\(f(x+2a)=f[(x+a)+a]\xlongequal[整体代换]{用x+a代换已知式中的x}-f(x+a)\xlongequal[代换]{用已知f(x+a)=-f(x)}-(-f(x))=f(x)\Longrightarrow T=2a\)
\(f(x+a)=b-f(x)\Leftrightarrow f(x+a)+f(x)=b\Longrightarrow T=2a\;\;\;\;\;\)
推导：\(f(x+2a)=f[(x+a)+a]=b-f(x+a)=b-(b-f(x))=f(x)\Longrightarrow T=2a\)
③、\(f(x+a)=\cfrac{k}{f(x)}(k\neq 0)\Leftrightarrow f(x+a)f(x)=k \Longrightarrow T=2a\);
推导：\(f(x+2a)=f[(x+a)+a]=\cfrac{k}{f(x+a)}=\cfrac{k}{\cfrac{k}{f(x)}}= f(x)\Longrightarrow T=2a\)
④、\(f(x+2)=f(x+1)-f(x)\Longrightarrow f(x+3)=-f(x)\Longrightarrow T=6\)
或者\(f(n+2)=f(n+1)-f(n)\Longrightarrow f(n+3)=-f(n)\Longrightarrow T=6\)
函数对称性(函数的奇偶性是对称性的特例)
①、若函数\(y=f(x)\)关于原点\((0，0)\)对称，则\(f(-x)=-f(x)\)或\(f(x)+f(-x)=0\)，反之亦成立；
②、若函数\(y=f(x)\)关于直线\(x=a\)对称(当\(a=0\)时即关于\(y\)轴对称)，则\(f(a+x)=f(a-x)\)，反之亦成立；
③、若函数\(y=f(x)\)满足\(f(a+x)=f(b-x)\)，函数\(y=f(x)\)的图像关于直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)对称，反之亦成立；
④、若函数\(y=f(x)\)图像是关于点\(A(a，b)\)对称，则充要条件是\(f(x)+f(2a-x)=2b\)；抽象函数的性质的验证
函数性质的综合熟练掌握以下的变形和数学思想方法：比如
对称性+奇偶性\(\Longrightarrow\)周期性的变形例子
如，已知函数\(f(x)\)是奇函数，且满足\(f(2-x)=f(x)\)，
则由\(\begin{align*} f(2-x)&=f(x) \\\ - f(-x)&= f(x)\end{align*}\) \(\Bigg\}\Longrightarrow f(2-x)=- f(-x)\Longrightarrow f(2+x)=- f(x)\Longrightarrow\)周期\(T=4\)
奇偶性+周期性\(\Longrightarrow\)对称性的变形例子
如，已知函数\(f(x)\)是奇函数，且满足\(f(x+4)=-f(x)\)，
则由\(\begin{align*} f(x+4)&=-f(x) \\ f(-x)&=-f(x)\end{align*}\) \(\Bigg\}\Longrightarrow f(x+4)=f(-x)\Longrightarrow\)对称轴是\(x=2\)
对称性+周期性\(\Longrightarrow\)奇偶性的变形例子
如，已知函数\(f(x)\)的周期是2，且满足\(f(2+x)=f(-x)\)，
则由\(\begin{align*} f(2+x) &=f(-x) \\ f(2+x) &= f(x)\end{align*}\) \(\Bigg\}\Longrightarrow f(-x)= f(x)\Longrightarrow\)函数\(f(x)\)是偶函数。
- 10、一元二次方程相关，设\(ax^2+bx+c=0（a\neq 0）\)的两个根为\(x_1，x_2\)，\(\Delta=b^2-4ac\)，
①求根公式：\(x_{1，2}=\cfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}（\Delta >0）\)；\(|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\cfrac{\sqrt{\Delta }}{|a|}\)；
②韦达定理：\(\begin{cases} x_1+x_2=-\cfrac{b}{a} \\ x_1x_2=\cfrac{c}{a} \end{cases}\)，如果解关于\(x_1，x_2\)的二元方程，就可以通过构造方程\(x^2+\cfrac{b}{a}x+\cfrac{c}{a}=0\)再解。
③因式分解：\(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\)；
④【补充】\(ax+b=0\)对所有\(x\in R\)都成立，则等价于\(a=b=0\)；\(am+bn=0\)对所有\(m，n\in R\)都成立，则等价于\(a=b=0\)；
\(ax^2+bx+c=0\)对所有\(x\in R\)都成立，则等价于\(a=b=c=0\)；\(am^2+bmn+cn^2=0\)对所有\(m，n\in R\)都成立，则等价于\(a=b=c=0\)；
- 11、三角形的基础知识相关
①三边关系：\(a+b>c\)且\(b+c>a\)且\(c+a>b\)，由这个关系可以推出任意两边之差小于第三边；故只需要记忆一组公式即可。
②\(n\)边形内角和\((n-2)\cdot 180^{\circ}\)；\(n\)边形外角和：\(360^{\circ}\)；
③\(a>b \Leftrightarrow A>B\)；延伸到高中得到\(a>b \Leftrightarrow A>B\Leftrightarrow sinA>sinB \Leftrightarrow cosA<cosB\)；
- 12、指数、对数的运算
- 13、恒成立，夹逼定理
点评：①为什么想到赋值\(x=2\)，是注意到\((2x)|_{x=2}=(\frac{1}{2}x^2+2)|_{x=2}\)，为了下一步利用夹逼定理。
②注意由\(k\leq f(x)\leq k\)，夹逼得到\(f(x)=k\)的结论的使用。