两空间异面直线公垂线及交点坐标的求解过程

转自：https://blog.csdn.net/hengfanz/article/details/44223411

已知空间4点，点A、B构成直线L1, 点C、D构成直线L2, 求L2上点P,使P到L1的距离最短，相应点的坐标分别为：

A(Xa,Ya,Za),B(Xb,Yb,Zb),C(Xc,Yc,Zc),D(Xd,Yd,Zd)

这是一个普通空间解析几何问题，在开发工业测量软件时曾遇到这样的数学模型问题，求解过程如下：

1）求出直线L1,L2的方程

L1的方程：

L2的方程：

2）求出公垂线方向向量。下面等式第二行就是所求公垂线向量的三个分量，分别记为（E,F,G）

3）令直线L1和公垂线确定的平面记为β，下面求之

令：

4）求平面与直线L2的公共解，即点P的坐标

容易理解的常规方法：

已知空间中两线段，如果它们无限变粗，判断是否相交。（主要讨论不在同一平面的情况）

线段AB 线段CD

问题的关键是求出这两条任意直线之间的最短距离，以及在这个距离上的两线最接近点坐标，判断该点是否在线段AB和线段CD上。

首先将直线方程化为对称式，得到其方向向量n1=（a1,b1,c1),n2=(a2,b2,c2).

再将两向量叉乘得到其公垂向量N=（x,y,z）,在两直线上分别选取点A,B(任意)，得到向量AB，

求向量AB在向量N方向的投影即为两异面直线间的距离了（就是最短距离啦）。

最短距离的求法：d=|向量N*向量AB|/|向量N|（上面是两向量的数量积，下面是取模）。

设交点为C,D，带入公垂线N的对称式中，又因为C,D两点分别满足一开始的直线方程，所以得到关于C（或D）的两个连等方程，分别解出来就好了！

已知空间4点，点A、B构成直线L1, 点C、D构成直线L2, 求L2上点P,使P到L1的距离最短，相应点的坐标分别为：

A(Xa,Ya,Za),B(Xb,Yb,Zb),C(Xc,Yc,Zc),D(Xd,Yd,Zd)

这是一个普通空间解析几何问题，在开发工业测量软件时曾遇到这样的数学模型问题，求解过程如下：

1）求出直线L1,L2的方程

L1的方程：

L2的方程：

2）求出公垂线方向向量。下面等式第二行就是所求公垂线向量的三个分量，分别记为（E,F,G）

3）令直线L1和公垂线确定的平面记为β，下面求之

令：

4）求平面与直线L2的公共解，即点P的坐标

容易理解的常规方法：

已知空间中两线段，如果它们无限变粗，判断是否相交。（主要讨论不在同一平面的情况）

线段AB 线段CD

问题的关键是求出这两条任意直线之间的最短距离，以及在这个距离上的两线最接近点坐标，判断该点是否在线段AB和线段CD上。

首先将直线方程化为对称式，得到其方向向量n1=（a1,b1,c1),n2=(a2,b2,c2).

再将两向量叉乘得到其公垂向量N=（x,y,z）,在两直线上分别选取点A,B(任意)，得到向量AB，

求向量AB在向量N方向的投影即为两异面直线间的距离了（就是最短距离啦）。

最短距离的求法：d=|向量N*向量AB|/|向量N|（上面是两向量的数量积，下面是取模）。

设交点为C,D，带入公垂线N的对称式中，又因为C,D两点分别满足一开始的直线方程，所以得到关于C（或D）的两个连等方程，分别解出来就好了！