【时间空间效率的平衡】丑数

此题出自牛客网的剑指offer专题

题目描述

把只包含质因子2、3和5的数称作丑数（Ugly Number）。例如6、8都是丑数，但14不是，因为它包含质因子7。习惯上我们把1当做是第一个丑数。求按从小到大的顺序的第N个丑数。

解题思路

首先从丑数的定义我们知道，一个丑数的因子只有2,3,5，那么丑数p = 2 ^ x * 3 ^ y * 5 ^ z，换句话说一个丑数一定由另一个丑数乘以2或者乘以3或者乘以5得到，那么我们从1开始乘以2,3,5，就得到2,3,5三个丑数，在从这三个丑数出发乘以2,3,5就得到4，6,10,6，9,15,10,15,25九个丑数，我们发现这种方法会得到重复的丑数，而且我们题目要求第N个丑数，这样的方法得到的丑数也是无序的。那么我们可以维护三个队列：

（1）丑数数组： 1

乘以2的队列：2

乘以3的队列：3

乘以5的队列：5

选择三个队列头最小的数2加入丑数数组，同时将该最小的数乘以2,3,5放入三个队列；

（2）丑数数组：1,2

乘以2的队列：4

乘以3的队列：3，6

乘以5的队列：5，10

选择三个队列头最小的数3加入丑数数组，同时将该最小的数乘以2,3,5放入三个队列；

（3）丑数数组：1,2,3

乘以2的队列：4,6

乘以3的队列：6,9

乘以5的队列：5,10,15

选择三个队列头里最小的数4加入丑数数组，同时将该最小的数乘以2,3,5放入三个队列；

（4）丑数数组：1,2,3,4

乘以2的队列：6，8

乘以3的队列：6,9,12

乘以5的队列：5,10,15,20

选择三个队列头里最小的数5加入丑数数组，同时将该最小的数乘以2,3,5放入三个队列；

（5）丑数数组：1,2,3,4,5

乘以2的队列：6,8,10，

乘以3的队列：6,9,12,15

乘以5的队列：10,15,20,25

选择三个队列头里最小的数6加入丑数数组，但我们发现，有两个队列头都为6，所以我们弹出两个队列头，同时将12,18,30放入三个队列；

……………………

疑问：

1.为什么分三个队列？

丑数数组里的数一定是有序的，因为我们是从丑数数组里的数乘以2,3,5选出的最小数，一定比以前未乘以2,3,5大，同时对于三个队列内部，按先后顺序乘以2,3,5分别放入，所以同一个队列内部也是有序的；

2.为什么比较三个队列头部最小的数放入丑数数组？

因为三个队列是有序的，所以取出三个头中最小的，等同于找到了三个队列所有数中最小的。

实现思路：

我们没有必要维护三个队列，只需要记录三个指针显示到达哪一步；“|”表示指针,arr表示丑数数组；

（1）1

目前指针指向0,0,0，队列头arr[0] * 2 = 2, arr[0] * 3 = 3, arr[0] * 5 = 5

（2）1 2

2 |4

|3 6

|5 10

目前指针指向1,0,0，队列头arr[1] * 2 = 4, arr[0] * 3 = 3, arr[0] * 5 = 5

（3）1 2 3

2| 4 6

3 |6 9

|5 10 15

目前指针指向1,1,0，队列头arr[1] * 2 = 4, arr[1] * 3 = 6, arr[0] * 5 = 5

………………

代码实现

Java版本

import java.util.ArrayList;
public class Solution {
    public int GetUglyNumber_Solution(int index) {
        //由于1——6均为丑数，所以可以直接返回
        if(index<7){
            return index;
        }
        //p2，p3，p5分别为三个队列的指针，newNum为从队列头选出来的最小数
        int p2=0,p3=0,p5=0;
        int newNum=1;
        //存储丑数的数组
        ArrayList<Integer> arr = new ArrayList<>();
        //寻找丑数并添加到数组中
        arr.add(newNum);
        while(arr.size()<index){
            //选出三个队列头最小的数
            newNum = Math.min(Math.min(arr.get(p2)*2,arr.get(p3)*3),arr.get(p5)*5);
            if(arr.get(p2)*2==newNum){
                p2++;
            }
            if(arr.get(p3)*3==newNum){
                p3++;
            }
            if(arr.get(p5)*5==newNum){
                p5++;
            }
            arr.add(newNum);
        }
        return newNum;
    }
}

C++版本

class Solution {
public:
    int GetUglyNumber_Solution(int index) {
        //1~6均为丑数
        if(index<7)
        {
            return index;
        }
        vector<int> arr;
        int p2=0,p3=0,p5=0;
        int newNum = 1;
        arr.push_back(newNum);
        while(arr.size()<index)
        {
            newNum = min(min(arr[p2]*2,arr[p3]*3),arr[p5]*5);
            if(arr[p2]*2==newNum) p2++;
            if(arr[p3]*3==newNum) p3++;
            if(arr[p5]*5==newNum) p5++;
            arr.push_back(newNum);
        }
        return newNum;
    }
};