我们都知道，深度学习的成功的原因主要有两点：
（1）当前计算机的计算能力有很大提升；
（2）随着大数据时代的到来，当前的训练样本数目有很大的提升。
然而深度学习的一大问题是，有的问题并没有大量的训练数据，而由于深度神经网络具有非常强的学习能力，如果没有大量的训练数据，会造成过拟合，训练出的模型难以应用。
因此对于一些没有足够样本数量的问题，可以通过已有的样本，对其进行变化，人工增加训练样本。
对于图像而言，常用的增加训练样本的方法主要有对图像进行旋转、移位等仿射变换，也可以使用镜像变换等等，这里介绍一种常用于字符样本上的变换方法，弹性变换算法(Elastic Distortion)。该算法最先是由Patrice等人在2003年的ICDAR上发表的《Best Practices for Convolutional Neural Networks Applied to Visual Document Analysis》提出的，最开始应用在mnist手写体数字识别数据集中，发现对原图像进行弹性变换的操作扩充样本以后，对于手写体数字的识别效果有明显的提升。当前也有很多人把该方法应用到手写体汉字的识别问题中，是一种很普遍的扩充字符样本图像的方式。
下面来详细介绍一下算法流程：
（1）首先需要对图像中的每个像素点(x,y)产生两个-1~1之间的随机数，Δx(x,y)和Δy(x,y)，分别表示该像素点的x方向和y方向的移动距离；
（2）生成一个以0为均值，以σ为标准差的高斯核k_nn，并用前面的随机数与之做卷积，并将结果作用于原图像。
作者在这里提出σ的大小与弹性变换的处理结果息息相关，如果σ过小，则生成的结果类似与对图像每个像素进行随机移动，而如果σ过大，则生成的结果与原图基本类似。
但是作者在文中并没有解释高斯核k_nn中n的大小对图像处理结果的影响，下面我的操作结果以n和σ为变量，进行了实验，我的原图是573*573大小，产生的卷积结果实验结果Δx(x,y)和Δy(x,y)各自扩大了100倍（因为Δx(x,y)和Δy(x,y)是-1~1的，如果不扩大的话基本看不出变化），实验结果如下图所示：
（1）n = 5,σ=4,8,16时：
（2）n = 21,σ= 4,8,16时：
（3）n = 105,σ = 4,8,16时：
可以看出来，只有在n足够大（与要处理的图像相比），且σ大小合适时才能够到合适的扭曲图像，如图所示，这里n = 105且σ=8时比较合适。
现在的论文中，只是介绍了算法流程，但具体的实现方法并没有介绍，我在实现的过程中一直很不清楚把Δx(x,y)和Δy(x,y)和卷积核做卷积具体是怎样做，而且也不太清楚卷积核的大小是多少，最终自己摸索这得到结果，应该是像我代码的方法。我的代码如下，对于高斯卷积和图像的读取使用的Opencv的函数，最终也可以自己在实现的函数中添加变量控制n和σ，我这里图方便，懒得加了。
Mat elasticDistort(Mat& img)
{
//转成灰度图像
cvtColor(img,img,CV_RGB2GRAY);
//分别存放原图各个像素点对应的Δx(x,y)和Δy(x,y)
Mat Xmv(img.rows,img.cols,CV_32FC1);
Mat Ymv(img.rows,img.cols,CV_32FC1);
//初始化Xmv
srand(time(NULL));
for(int i = 0; i<img.rows; i++)
{
float* p = Xmv.ptr<float>(i);
for(int j = 0; j<img.cols; j++)
{
p[j] = (rand() % 3 - 1) * 100;//注意，Xmv和Ymv两个矩阵是产生随机数的基础上进行高斯模糊得到的，这里是产生随机数。2017-04-26
}
}
//初始化Ymv
srand(time(NULL) + 100);
for(int i = 0; i<img.rows; i++)
{
float* p = Ymv.ptr<float>(i);
for(int j = 0; j<img.cols; j++)
{
p[j] = (rand() % 3 - 1) * 100;//注意，Xmv和Ymv两个矩阵是产生随机数的基础上进行高斯模糊得到的，这里是产生随机数。2017-04-26
}
}
//使用Opencv函数，对Xmv和Ymv分别做卷积，这里的105和4分别为n和σ
GaussianBlur(Xmv,Xmv,Size(105,105),4,4);
GaussianBlur(Ymv,Ymv,Size(105,105),4,4);
//处理结果图像
Mat result(img.rows,img.cols,img.type());
result.setTo(255);
//把Xmv和Ymv作用到原图像中，得到结果图像
for(int i = 0; i<img.rows; i++)
{
for(int j = 0; j<img.cols; j++)
{
int newX = i + cvRound(Xmv.at<float>(i,j));
int newY = j + cvRound(Ymv.at<float>(i,j));
newX = newX < 0 ? 0 : newX;
newY = newY < 0 ? 0 : newY;
newX = newX >= img.rows ? img.rows - 1 : newX;
newY = newY >= img.cols ? img.cols - 1 : newY;
result.at<uchar>(newX,newY) = img.at<uchar>(i,j);
}
}
//先对图像做腐蚀操作，再做膨胀操作，可以去掉字符中的白色纹理
//Mat element = getStructuringElement(MORPH_RECT, Size(2, 2));
//erode(result,result,element);
//dilate(result,result, element);
return result;
}——————————————————————————————————分割线——————————————————————————————————
更新：添加了一个average的过程，这样可以起到一定的平滑作用使得生成的图像更自然
//对图像进行弹性变换，扩充训练数据量，这种方法相比对图像进行仿射变换效果要好
Mat elasticDistort(Mat& img,int gaussianWindowSize,double gaussianKernelSize)
{
cvtColor(img,img,CV_RGB2GRAY);
Mat Xmv(img.rows,img.cols,CV_32FC1);
Mat Ymv(img.rows,img.cols,CV_32FC1);
//srand(time(NULL));
for(int i = 0; i<img.rows; i++)
{
float* p = Xmv.ptr<float>(i);
for(int j = 0; j<img.cols; j++)
{
p[j] = (rand() % 3 - 1) * 10;//注意，Xmv和Ymv两个矩阵是产生随机数的基础上进行高斯模糊得到的，这里是产生随机数。2017-04-26
}
}
//srand(time(NULL) + 100);
srand(clock());
for(int i = 0; i<img.rows; i++)
{
float* p = Ymv.ptr<float>(i);
for(int j = 0; j<img.cols; j++)
{
p[j] = (rand() % 3 - 1) * 10;//注意，Xmv和Ymv两个矩阵是产生随机数的基础上进行高斯模糊得到的，这里是产生随机数。2017-04-26
}
}
GaussianBlur(Xmv,Xmv,Size(gaussianWindowSize,gaussianWindowSize),gaussianKernelSize,gaussianKernelSize);
GaussianBlur(Ymv,Ymv,Size(gaussianWindowSize,gaussianWindowSize),gaussianKernelSize,gaussianKernelSize);
Mat result(img.rows,img.cols,img.type());
result.setTo(255);
for(int i = 0; i<img.rows; i++)
{
for(int j = 0; j<img.cols; j++)//这里进行了更改！
{
int newX_low = i + cvFloor(Xmv.at<float>(i,j));
int newX_high = i + cvCeil(Xmv.at<float>(i,j));
int newY_low = j + cvFloor(Ymv.at<float>(i,j));
int newY_high = j + cvCeil(Ymv.at<float>(i,j));
newX_low = newX_low < 0 ? 0 : newX_low;
newX_high = newX_high < 0 ? 0 : newX_high;
newY_low = newY_low < 0 ? 0 : newY_low;
newY_high = newY_high < 0 ? 0 : newY_high;
newX_low = newX_low >= img.rows ? img.rows - 1 : newX_low;
newX_high = newX_high >= img.rows ? img.rows - 1 : newX_high;
newY_low = newY_low >= img.cols ? img.cols - 1 : newY_low;
newY_high = newY_high >= img.cols ? img.cols - 1 : newY_high;
int sum = img.at<uchar>(newX_low,newY_low) + img.at<uchar>(newX_low,newY_high)+
img.at<uchar>(newX_high,newY_low) + img.at<uchar>(newX_high,newY_high);
double avg = sum * 1.0 * 0.25;
if(avg < 110)
{
avg = 0;
}
else if(avg > 145)
avg = 255;
result.at<uchar>(i,j) = avg;
//result.at<uchar>(newX,newY) = img.at<uchar>(i,j);
}
}
//cout<<result<<endl;
return result;
}————————————————————2017年4月26日更新——————————————————————
Mat Xmv(img.rows,img.cols,CV_32FC1);
Mat Ymv(img.rows,img.cols,CV_32FC1);
//srand(time(NULL));
for(int i = 0; i<img.rows; i++)
{
float* p = Xmv.ptr<float>(i);
for(int j = 0; j<img.cols; j++)
{
p[j] = (rand() % 3 - 1) * 10;//注意，Xmv和Ymv两个矩阵是产生随机数的基础上进行高斯模糊得到的，这里是产生随机数。2017-04-26
}
}
//srand(time(NULL) + 100);
srand(clock());
for(int i = 0; i<img.rows; i++)
{
float* p = Ymv.ptr<float>(i);
for(int j = 0; j<img.cols; j++)
{
p[j] = (rand() % 3 - 1) * 10;//注意，Xmv和Ymv两个矩阵是产生随机数的基础上进行高斯模糊得到的，这里是产生随机数。2017-04-26
}
}
GaussianBlur(Xmv,Xmv,Size(gaussianWindowSize,gaussianWindowSize),gaussianKernelSize,gaussianKernelSize);
GaussianBlur(Ymv,Ymv,Size(gaussianWindowSize,gaussianWindowSize),gaussianKernelSize,gaussianKernelSize);上面的代码是Xmv和Ymv矩阵的生成代码，从代码中Xmv和Ymv的生成方法实际上就是先产生两个随机矩阵，然后在该随机矩阵上进行高斯模糊，上面两个for循环做的就是生成随机矩阵，如果要弹性变形的图像比较大，可以考虑在较大的范围内生成随机数，如p[j] = (rand() % 5 - 2) * 10，即生成-20到20之间的随机数，这样会更适合较大的图像的随机弹性形变样本生成。