最近在尝试实现一个简单的STL，到了红黑树那个位置，由于侯捷老师的那本书只讲了插入操作，所以只能自己找资料学习删除操作，在此总结记录一下。
首先是红黑树的几条性质，各种操作最终都要保证满足这些性质。
1、每个节点或是红的，或是黑的。
2、根节点是黑的。
3、每个叶节点（NIL）是黑的。
4、如果一个节点是红的，则它的两个儿子都是黑的。
5、对于每个节点，从该节点到其子孙节点的所有路径上包含相同数目的黑节点。
至于为什么这些性质可以保持平衡，可以参考 2-3-4 树。
接下来进入正题
删除操作大体可以分为两步，首先是删除节点，然后是如果有需要，则调整红黑树使其平衡。
下面是删除节点的伪代码。
RB-DELETE(T, z)
if left[z] = nil[T] or right[z] = nil[T]
then y <- z
else y <- TREE-SUCCESSOR(z)
if left[y] ≠ nil[T]
then x <- left[y]
else x <- right[y]
p[x] <- p[y]
if p[y] = nil[T]
then root[T] <- x
else if y = left[p[y]]
then left[p[y]] <- x
else right[p[y]] <- x
if y ≠ z
then key[z] <- key[y]
copy y's satellite data into z
if color[y] = BLACK
then RB-DELETE-FIXUP(T, x)
return y删除操作类似于二叉搜索树的删除操作，这里 z 为要删除的节点，y 为实际删除的节点，x 为 y 的孩子节点，这里 z 和 y 可能相等。
大概有这么几种情况：
// x(NIL) 表示 x 可能为 NIL
// z == y
z(=y) z(=y)
/ \ / \
x NIL NIL x(NIL)
// z != y
z z
/ \ / \
o o o y
/ \ / \
y o NIL x(NIL)
/ \
NIL x(NIL)如果 y 是黑的，会产生几个问题：
1、如果 y 是根节点，而 x 是红的，则违反了性质 2，这种情况只要简单把 x 改为黑的即可。
2、如果 y 的父节点是红的，而 x 也是红的，则违反了性质 4。
3、删除 y 节点会导致该路径上的黑节点数目比其他少 1，违反了性质 5。
如果 y 是红的，可以发现删除后路径上黑节点数目不变，即不违反性质 5，而由于此时 y 的父节点一定是黑的（否则原本的树违反性质 4），所以无论 x 是什么颜色都不会违反性质 4。
接下来是平衡红黑树。
RB-DELETE-FIXUP(T, x)
while x ≠ root[T] and color[x] = BLACK
do if x = left[p[x]]
then w <- right[p[x]]
if color[w] = RED
// case 1
then color[w] <- BLACK
color[p[x]] <- RED
LEFT-ROTATE(T, p[x])
w <- right[px[x]]
if color[left[w]] = BLACK and color[right[w]] = BLACK
// case 2
then color[w] <- RED
x <- p[x]
else if color[right[w]] = BLACK
// case 3
then color[left[w]] <- BLACK
color[w] <- RED
RIGHT-ROTATE(T, w)
w <- right[p[x]]
// case 4
color[w] <- color[p[x]]
color[p[x]] <- BLACK
color[right[w]] <- BLACK
LEFT-ROTATE(T, p[x])
x <- root[T]
else (same as then clause with "right" and "left" exchanged)
color[x] <- BLACK根据上面的分析，删除黑节点后会导致树至少违反性质 5。
但是有一种办法可以保持性质 5，就是把 y 的黑色推到 x 身上，也就是说 x 可能是黑黑或者黑红，这样违反了性质 1，而上面的算法可以用来恢复性质 1，一共有八种情况，这里只列举了四种情况（其余四种反向处理），下面这张图中，x 恒为具有双重颜色的节点。
注意，以 case2 的右边那张图为例，这里 B 的颜色偏淡，代表颜色不确定（可红可黑），而 D 的颜色才代表红色。
case1： x 的兄弟 w 是红的
这种情况下，对 w 和 x 的父节点做一次左旋转并改变颜色，旋转后依然保持性质 5。那么问题是，为什么要旋转呢？注意，这时候 x 的兄弟 w 变成了 C 节点，而且是黑的。这里旋转的目的就是让 x 的兄弟节点变为黑的。那么为什么要将 x 的兄弟节点变成黑的呢？目的是形成 case2、case3 或 case4。
case2：x 的兄弟 w 是黑的，且 w 的两个孩子都是黑的
这种情况是最简单的，由于 w 是和两个孩子都是黑的，所以可以将 x 和 w 都去掉一层黑色，将这层黑色转移给父节点，也就是 x 变为黑的， w 变为红的，并将父节点（具有双重颜色）作为新的 x 节点继续处理。此时如果父节点原本是红的，则退出外层循环，然后将新的 x 节点（即父节点）变为黑的，完成平衡操作。如果父节点原本是黑的，则父节点为黑黑，继续循环。也就形成了 case1、case2、case3 或 case4。
case3：x 的兄弟 w 是黑的，且 w 的左孩子是红的，右孩子是黑的
这种情况下，对 w 进行一次右旋转，旋转后依然保持性质 5。这里旋转的目的是让 w 的右孩子变成红的，也就是形成 case4。
case4：x 的兄弟 w 是黑的，且 w 的右孩子是红的
这种情况下，对 w 和 x 的父节点做一次左旋转并改变颜色，旋转后 E 节点变为黑色，A 节点增加了一个黑色父节点（路径上的黑色节点数目加 1），也就是此时 A 节点可以去掉一层黑色且不破坏性质 5 同时恢复了性质 1。最后将根节点赋值给 x 用以结束循环。
总的来说，case1 和 case3 的操作都是为了形成其他情况，而位于 case2 时，改变颜色后，如果父节点原本为红，则改为黑色结束平衡，原本为黑则继续循环，直至到达根节点，此时可以简单地去掉根节点的一重黑色而不破坏性质 5。case4 则巧妙利用节点间的关系，通过旋转和改变颜色，使左侧多出一个黑色节点，即令 x 节点可以去掉一层黑色，保持性质 5 且恢复性质 1。
参考资料
- 算法导论（原书第3版）