"约瑟夫环“分析+程序（PHP）

概述：

“约瑟夫环”是一个数学的应用问题：一群人排成一圈，按1,2,…,n依次编号。然后从第1个人开始数，数到第m个，把它踢出圈，从他后面再开始数，再数到第m个，在把他踢出去…，如此不停的进行下去，直到最后只剩下一个人为止，那个人就获得大奖。要求编程模拟此过程，输入m、n, 输出最后那个人的编号。
目前，在网上了解到有几种方法，例如:模拟方法，递归方法，递推方法，数学方法等等，在本文章主要介绍的是模拟方法和递推方法。

准备：

1、模拟方法：

其实这个“约瑟夫环”很容易就让人想到循环链表的数据结构，同样是头接尾，移除逻辑也很清晰明了，但是从PHP实现的角度来说，循环链表相对比较复杂，我们可以把该问题想成是队列问题，我们把检查人的编号时为出队列，而检查的编号不符合被踢人条件时则入队列，这样一来，问题也很清晰明了。


    /*
     * 约瑟夫问题 模拟方法 时间复杂度O(mn)
     * @param int $total 总人数
     * @param int $index 被踢序号
     * @return int $result 幸存者编号
     */
    public function josephusB($total, $index){
        $people = range(1, $total);  //模拟创建连续的数组,值代表编号
        $i = 0; //编号
        while(count($people)>1){
            $i++;
            $head = array_shift($people);  //直接出列第一个人
            if($i%$index !=0){ //核查一下是不是倒霉的编号
                array_push($people,$head);//不是让出列的人回到队伍最后处
            }
        }
        return $people[0]; //最终只剩下一个的的队列
    }

2、递推方法

借用一下别人图：
这里写图片描述
假设最后剩下的人,在第(n-1)人的序列中的编号是f(n-1),那么他在n个人的序列中,编号为(k+f(n-1))%n,也就得到了我们的递推公式:
f(n)=(k+f(n-1))%n;
f(1)=1;

    /*
     * 约瑟夫问题 递归方法 时间复杂度O(n)
     * @param int $total 总人数
     * @param int $index 被踢序号
     * @return int $num 幸存者编号
     */
    public function josephusA($total, $index){
        $result = 0; //最终只有一个人时候，幸存者的新编号一定是1，那么求余为1%1=0
        for($i=2;$i<=$total;$i++){  //循环根据新编号获得旧编号,从两个人开始，直到游戏开始时的人数
            $result = ($result + $index) % $i;
        }
        $num = $result+1; //因为是根据求余获得编号，所以最终编号需要+1
        return $num;
    }

总结：

两种方法在时间复杂度的角度来说，递推的方法更好一些，不过从逻辑易懂的角度来说，我个人觉得模拟方法比较好。除了这两种方法，还有其他网友也提供了许多方法，大家可以去搜搜了解一下。