【数据结构】插入排序

插入排序

首先来看一道排序问题：
输入：n个数的一个序列$<a_1,a_2,a_3,...a_n>$。
输出：输入序列的一个排列$<a_1',a_2',a_3',...,a_n'>$，满足$a_1'<=a_2'<=a_3'<=...<=a_n'$。

我们希望排序的数也称为关键字。虽然概念上我们在排序一个序列，但是输入是以n个元素的数组的形式出现的。

那么我们就可以用到插入排序，对于少量元素的排序，它是一个有效的算法。插入排序的工作方式像许多人排序一手的扑克牌一样。开始时，我们的左手为空并且桌子上的牌面向下。然后，我们每次从桌子上拿走一张牌并将它插入左手中正确的位置。为了找到一张牌正确位置，我们从右到左将它与已在手中的每张牌进行比较，如图1所示。拿在左手上的牌总是排好序的，原来这些牌是桌子上牌堆顶部的牌。
图1
对于插入排序，我们将其伪代码过程命名为INSERTION-SORT，其中的参数是一个数组A［1..n］，包含长度为n的要排序的一个序列。（在代码中，A中元素的数目n用A.length来表示。）该算法原址排序输入的数：算法在数组A中重排这些数，在任何时候，最多只有其中的常数个数字存储在数组外面。在过程INSERTION-SORT结束时，输入数组A包含排序好的输出序列。

INSERTION-SORT(A)
1　for j = 2 to A.length
2　　key = A［j］
3　　// Insert A［j］ into the sorted sequence A［1..j - 1］.
4　　i = j - 1
5　　while i > 0 and A［i］ > key
6　　　　A［i+1］ = A［i］
7　　　　i = i - 1
8　　A［i + 1］ = key

循环不变式与插入排序的正确性
图2 表明对A=〈5,2,4,6,1,3〉该算法如何工作。下标j指出正被插入到手中的“当前牌”。在for循环（循环变量为j）的每次迭代的开始，包含元素A［1..j-1］的子数组构成了当前排序好的左手中的牌，剩余的子数组A［j+1..n］对应于仍在桌子上的牌堆。事实上，元素A［1..j-1］就是原来在位置1到j-1的元素，但现在已按序排列。我们把A［1..j-1］的这些性质形式地表示为一个循环不变式：

在第1～8行的for循环的每次迭代开始时，子数组A［1..j-1］由原来在A［1..j-1］中的元素组成，但已按序排列。
图2
图2　在数组A=〈5,2,4,6,1,3〉上INSERTION-SORT的操作。数组下标出现在长方形的上方，数组位置中存储的值出现在长方形中。(a)～(e)第1～8行for循环的迭代。每次迭代中，黑色的长方形保存取自A［j］的关键字，在第5行的测试中将它与其左边的加阴影的长方形中的值进行比较。加阴影的箭头指出数组值在第6行向右移动一个位置，黑色的箭头指出在第8行关键字被移到的地方。(f)最终排序好的数组

循环不变式主要用来帮助我们理解算法的正确性。关于循环不变式，我们必须证明三条性质：

初始化：循环的第一次迭代之前，它为真。

保持：如果循环的某次迭代之前它为真，那么下次迭代之前它仍为真。

终止：在循环终止时，不变式为我们提供一个有用的性质，该性质有助于证明算法是正确的。

当前两条性质成立时，在循环的每次迭代之前循环不变式为真。（当然，为了证明循环不变式在每次迭代之前保持为真，我们完全可以使用不同于循环不变式本身的其他已证实的事实。）注意，这类似于数学归纳法，其中为了证明某条性质成立，需要证明一个基本情况和一个归纳步。这里，证明第一次迭代之前不变式成立对应于基本情况，证明从一次迭代到下一次迭代不变式成立对应于归纳步。

第三条性质也许是最重要的，因为我们将使用循环不变式来证明正确性。通常，我们和导致循环终止的条件一起使用循环不变式。终止性不同于我们通常使用数学归纳法的做法，在归纳法中，归纳步是无限地使用的，这里当循环终止时，停止“归纳”。

让我们看看对于插入排序，如何证明这些性质成立。

初始化：首先证明在第一次循环迭代之前（当j=2时），循环不变式成立?。所以子数组A［1..j-1］仅由单个元素A［1］组成，实际上就是A［1］中原来的元素。而且该子数组是排序好的（当然很平凡）。这表明第一次循环迭代之前循环不变式成立。

保持：其次处理第二条性质：证明每次迭代保持循环不变式。非形式化地，for循环体的第4～7行将A［j-1］、A［j-2］、A［j-3］等向右移动一个位置，直到找到A［j］的适当位置，第8行将A［j］的值插入该位置。这时子数组A［1..j］由原来在A［1..j］中的元素组成，但已按序排列。那么对for循环的下一次迭代增加j将保持循环不变式。

第二条性质的一种更形式化的处理要求我们对第5～7行的while循环给出并证明一个循环不变式。然而，这里我们不愿陷入形式主义的困境，而是依赖以上非形式化的分析来证明第二条性质对外层循环成立。

终止：最后研究在循环终止时发生了什么。导致for循环终止的条件是j>A.length=n。因为每次循环迭代j增加1，那么必有j=n+1。在循环不变式的表述中将j用n+1代替，我们有：子数组A［1..n］由原来在A［1..n］中的元素组成，但已按序排列。注意到，子数组A［1..n］就是整个数组，我们推断出整个数组已排序。因此算法正确。

练习

1　以图2为模型，说明INSERTION-SORT在数组A=〈31,41,59,26,41,58〉上的执行过程。

2　重写过程INSERTION-SORT，使之按非升序（而不是非降序）排序。

3　考虑以下查找问题：

输入：n个数的一个序列A=〈a1，a2，…，an〉和一个值v。

输出：下标i使得v=A［i］或者当v不在A中出现时，v为特殊值NIL。

写出线性查找的伪代码，它扫描整个序列来查找v。使用一个循环不变式来证明你的算法是正确的。确保你的循环不变式满足三条必要的性质。

4　考虑把两个n位二进制整数加起来的问题，这两个整数分别存储在两个n元数组A和B中。这两个整数的和应按二进制形式存储在一个（n+1）元数组C中。请给出该问题的形式化描述，并写出伪代码。

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作者：zsjzliziyang
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