jzoj5814 【NOIP提高A组模拟2018.8.14】 树 （树上期望，递归法列方程）

版权声明：未经作者本人允许禁止转载。 https://blog.csdn.net/jokerwyt/article/details/81672615

题面

梦游中的你来到了一棵 N 个节点的树上. 你一共做了 Q 个梦, 每个梦需要你从点 u 走到 点 v 之后才能苏醒, 由于你正在梦游, 所以每到一个节点后,你会在它连出去的边中等概率地 选择一条走过去, 为了确保第二天能够准时到校, 你要求出每个梦期望经过多少条边才能苏 醒. 为了避免精度误差, 你要输出答案模10^9 + 7的结果.
对于 100%的数据, N <= 100000, Q <= 100000.

失智题

一点想法都没有.jpg
只想到了这一点：
由于期望的线性性，我们可以对于每一条边计算贡献。

如果是图，这的确没什么用。 但是注意这是一颗树，对于有向边$(u,fa[u])$，走过他需要的期望步数是可以计算的：

$$f_x = \frac {1 + \sum 1 + f_c + f_x} {deg}$$
，其中f_c是x的儿子，deg是x的度数（当前可以选择的边数）。
这个方程的意义是： 有 $1/deg$的概率直接走过，其余的概率都是走入儿子，再从儿子走回来，再重复上述过程。
其中运用了一种将未知数自己列入方程的思想，就像递归一样。

对于自上往下的边也差不多是同理的。
这样做了之后，询问就是直接树上路径求和了。
（推式子之后可以发现边权只有整数）

实现

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e5+10, mo = 1e9 + 7;
ll f[N],g[N],pg[N],pf[N];
int n,Q,final[N],nex[2*N],to[2*N],tot;
int w[N][20],d[N],sc[N],dep[N];

void link(int x,int y) {
    to[++tot]=y,nex[tot]=final[x],final[x]=tot;
}

void dfs(int x,int fa) {
    w[x][0] = fa;
    for (int i = 1; i <= 18; i++)
        w[x][i] = w[w[x][i-1]][i-1];
    dep[x] = dep[fa] + 1;
    for (int i = final[x]; i; i=nex[i]) {
        int y = to[i]; if (y == fa) continue;
        dfs(y,x);
        d[x]++;
        f[x] += f[y];
        sc[x] += f[y];
    }

    if (x != 1) {
        d[x]++;
        f[x] += d[x];
    }
}

void dfs2(int x,int fa) {
    g[x] += g[fa] + d[fa];
    for (int i = final[x]; i; i=nex[i]) {
        int y = to[i]; if (y == fa) continue;
        g[y] = sc[x] - f[y];
        dfs2(y,x);
    }
}

void dfs3(int x,int fa) {
    pg[x] += pg[fa] + g[x];
    pf[x] += pf[fa] + f[x];
    for (int i = final[x]; i; i=nex[i]) {
        int y = to[i]; if (y == fa) continue;
        dfs3(y,x);
    }
}

int lca(int x,int y) {
    if(dep[x] < dep[y]) swap(x,y);
    for (int i = 18; ~i; i--)
        if (dep[w[x][i]] >= dep[y]) x = w[x][i];
    if (x==y) return x;
    for (int i = 18; ~i; i--)
        if (w[x][i] != w[y][i])
            x = w[x][i], y = w[y][i];
    return w[x][0];
}

int main() {
    freopen("tree.in","r",stdin);
    freopen("tree.out","w",stdout);
    cin>>n>>Q;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        int u,v; scanf("%d %d",&u,&v);
        link(u,v), link(v,u);
    }
    dfs(1,0); f[1] = 0;
    dfs2(1,0);
    dfs3(1,0);
    for (int i = 1; i <= Q; i++) {
        int u,v; scanf("%d %d",&u,&v);
        int l = lca(u,v);
        ll ans = pf[u] - pf[l] + pg[v] - pg[l];
        printf("%lld\n",ans % mo);
    }
}