NOIp 图论算法专题总结 (3)

系列索引：

NOIp 图论算法专题总结 (1): https://www.cnblogs.com/greyqz/p/9472820.html

NOIp 图论算法专题总结 (2): https://www.cnblogs.com/greyqz/p/9545927.html

NOIp 图论算法专题总结 (3): https://www.cnblogs.com/greyqz/p/9553494.html

二分图

性质：不存在节点个数为奇数的环。

二分图染色（判断是否二分图）：

int col[N]; bool v[N];

bool dfs(int x) {
    v[x] = true;
    for (int i=head[x]; i; i=nex[i]) {
        if (!v[to[i]]) {
            col[to[i]] = col[x] ^ 1;
            if (!dfs(to[i])) return false;
        } else if (col[x]==col[to[i]]) return false;
    }
    return true;
}

int flag  = true;
for (int i=1; i<=n; i++) if (!v[i] && !dfs(i)) {
    flag = false; break;
}
if (flag) printf("Yes\n"); else printf("No\n");

二分图的匹配是一些边，要求满足每个节点最多只被这些边里面的一条边覆盖。所有匹配中，边数最多的匹配被称为二分图的最大匹配。

匈牙利算法：从二分图中找出一条增广路，让路径的起点和终点都是还没有匹配过的点，并且路径经过的连线是一条没被匹配、一条已经匹配过，再下一条又没匹配这样交替地出现。找到这样的路径后，显然路径里没被匹配的连线比已经匹配了的连线多一条，于是修改匹配图，把路径里所有匹配过的连线去掉匹配关系，把没有匹配的连线变成匹配的，这样匹配数就比原来多 1 个。不断执行上述操作，直到找不到这样的路径为止。时间复杂度 \(O(nm)\)。

bool Hungary(int x) {
    for (int i=head[x]; i; i=nex[i]) {
        if (v[i]) continue;
        v[i] = true;
        if (!match[to[i]] || Hungary(match[to[i]])) {
            match[to[i]] = x;
            return true;
        }
    }
    return false;
}

for (int i=1; i<=m; i++) {
    memset(v, false, sizeof(v));
    if (!Hungary(k)) break;
}

网络流

容量网络是一个有向图，图的边 \((u, v)\) 有非负的权 \(c(u, v)\)，被称为容量。图中有一个被称为源的节点和一个被称为汇的节点。实际通过每条边的流量记为 \(f(u, v)\)。残量网络是一个结构和容量网络相同的有向图，只不过边的权值为 \(c(u, v) - f(u, v)\)。所有边上的流量集合被称为网络流。

点覆盖集是无向图的一个点集，使得该图中的所有边至少有一个端点在该集合内。点数最少的点覆盖集被称为最小点覆盖集。点独立集是无向图的一个点集，使得该集合中任意两个点之间不连通。点数最多的点被称为最大点独立集。

一个网络的割是这样一个边集，如果把这个集合的边删去，这个网络就不再连通。这个边集中边的容量和被称为割的容量。容量最小的割被称为最小割。

引理：最小点覆盖集 = 最大匹配 = \(|V|\) - 最大点独立集 = \(|V|\) - 最小边覆盖。最大点权独立集 = \(\sum \textrm{val}(x)\) - 最小点权覆盖集。最小点权覆盖集 = 最小割。最大点权闭合子图 = \(\sum \{\textrm{val}(x)| \textrm{val}(x)>0\}\) - 最小割

最大流最小割定理：对于一个容量网络，其最大流等于最小割的容量。

可行流的性质：

容量限制：对任意 \(u,v∈V\)，\(0\le f(u,v)\le c(u,v)\)

流量守恒：对于任意非源汇节点 \(u∈V\)，满足 \(\sum_{(u,v)\in E} f(u,v)=\sum_{(v,u)\in E} f(v,u)\)

斜对称性：对任意 \(u,v∈V\)，\(f(u,v)=-f(v,u)\)

最大流

增广路定理：网络达到最大流，当且仅当残留网络中没有增广路。

Ford–Fulkerson 算法：

FF1

FF2

建图：为了方便求取反向边，把一对互为反向边的边建在一起。

Edmonds-Karp 算法：每次增广先在残量网络上找到一条增广路，然后将这条路上每条边的边权减去增广路上边权最小边的边权。再在该边的反向边上加上这个权值（用于撤消增广操作）。时间复杂度 \(O(VE^2)\)。

int pre[N], id[N]; // pre 标记上一个点，id 标记上一条边
bool v[N];

inline bool bfs(int s, int t) { // 寻找增广路
    memset(v, 0, sizeof v);
    memset(pre, 0, sizeof pre);
    queue<int> q;
    v[s]=true; q.push(s);
    while (!q.empty()) {
        int x=q.front(); q.pop();
        for (int i=head[x]; i; i=nex[i]) if (!v[to[i]] && w[i]) {
            pre[to[i]]=x, id[to[i]]=i, v[to[i]]=true;
            if (to[i]==t) return true;
            q.push(to[i]);
        }
    } 
    return false;
}

inline int ek(int s, int t) {
    int res=0;
    while (bfs(s, t)) {
        int path=inf; // flow 为新的增广路
        for (int i=t; i!=s; i=pre[i]) path=min(path, w[id[i]]);
        for (int i=t; i!=s; i=pre[i]) w[id[i]]-=path, w[id[i]^1]+=path; // 正向边减、反向边加
        res+=path;
    }
    return res;
}

head[0]=1; // 直接从 2 开始计数，保证正反向边快速访问
add(a,b,c), add(b,a,0); // 添加反向边

Dinic 算法：每次都走最短的增广路，并且每次增广允许多条增广路一起增广。采用分层图。对于每一个点，我们根据从源点开始的 bfs 序列，为每一个点分配一个深度，然后我们进行若干遍 dfs 寻找增广路，每一次由 u 推出 v 必须保证 v 的深度必须是 u 的深度 + 1。时间复杂度最坏 \(O(|V|^2|E|)\)。时间复杂度 \(O(V^2E)\)。

Dinic 算法当前弧优化：存储下以 u 开头的节点的当前弧 cur[u]，之后遇到 u 直接从 cur[u] 这条弧之后开始寻找，而不必再从 head[u] 开始。

int dep[N], cur[N];

inline bool bfs(int s, int t) { // 分层图
    memset(dep, 0, sizeof dep);
    queue<int> q;
    dep[s]=1; q.push(s);
    while (!q.empty()) {
        int x=q.front(); q.pop();
        for (int i=head[x]; i; i=nex[i])
            if (w[i]>0 && !dep[to[i]]) // 若该残量不为 0，且 to[i] 还未分配深度，则给其分配深度并放入队列
                dep[to[i]]=dep[x]+1, q.push(to[i]);
    }
    // 当汇点的深度不存在时，说明不存在分层图，同时也说明不存在增广路
    if (!dep[t]) return false; else return true;
}

int dfs(int x, int dis) { // 寻找增广路
    if (x==t) return dis;
    for (int& i=cur[x]; i; i=nex[i]) // cur[x] 记录当前弧
        if (dep[to[i]]==dep[x]+1 && w[i]) { // 分层图、残量不为 0
            int d=dfs(to[i], min(dis, w[i]));
            if (d>0) {w[i]-=d, w[i^1]+=d; return d; }
        }
    return 0; // 没有增广路
}

inline int dinic(int s, int t) {
    int res=0, d;
    while (bfs(s, t)) {
        for (int i=1; i<=n; i++) cur[i]=head[i]; // 重置当前弧
        while (d=dfs(s, inf)) res+=d;
    }
    return res;
}

head[0]=1; // 直接从 2 开始计数，保证正反向边快速访问
add(a,b,c), add(b,a,0); // 添加反向边

ISAP 算法：基于分层思想，在每次增广完成后自动更新每个点所在的层。时间复杂度 \(O(V^2E)\)。

二分图匹配：将原二分图的边的容量设为 1，S 向左部的节点连一条容量为 1 的边，右部的节点向 T 连一条容量为 1 的边。如果二分图的一条边在匹配中，那么两个点对应的 S 和 T 的边一定满流，不可能再被匹配。

点最大容量限制：拆点，将一个点 \(u\) 拆成入点 \(u_{in}\) 和出点 \(u_{out}\) 两个，将所有指向 \(u\) 的边连接到 \(u_{in}\)，容量不变，从 \(u\) 连出的边改为从 \(u_{out}\) 连出，容量不变;最后再从 \(u_{in}\) 向 \(u_{out}\) 连接一条容量为 \(u\) 容量限制的边。

求多个（不重复）最长不下降子序列：dp 求最长不下降子序列长度 s。拆点。每个点向比它大 1 的点连一条容量为 1 的边。S 向 dp[1] 连一条容量为 1 的边，dp[s] 向 T 连一条容量为 1 的边。求最大流。

部分资料来源:

网络流算法和建模. hzwer, miskcoo. (课件)

二分图染色 (判断是否二分图). Gitfan. https://www.jianshu.com/p/877c3ff46dec

二分图最大匹配问题匈牙利算法. Matrix67. http://www.matrix67.com/blog/archives/39

匈牙利算法 & 模板. SHHHS. https://www.cnblogs.com/shadowland/p/5873686.html

Dinic 算法（研究总结，网络流）. SYCstudio. https://www.cnblogs.com/SYCstudio/p/7260613.html

网络流 (一) 入门到熟练. Tank_long. https://blog.csdn.net/txl199106/article/details/64441994

NOIp 图论算法专题总结 (3)

二分图

网络流

最大流

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