动态规划详解（第一讲）

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第一讲内容来自《算法问题实战策略》【韩】具宗万著

重复子问题与制表

动态规划（DP，dynamic programming）和分治法具有类似的处理方式，都是先把问题分割成若干子问题，然后求出这些子问题的解，再利用这些解得到整个问题的最后答案。
不过，动态规划和分治法在分割子问题的方式上存在不同。DP中，有些子问题的计算结果会用于多个问题的求解过程(如果不理解参考下面的示例）。因此，在对子问题进行一次计算的情况下，重复利用其结果就能提高运算的速度。为了实现这种方法，需将子问题的解预先保存到内存中，保存的方法称为“制表”，能够重复利用两次以上的子问题称为重复子问题（overlapping subproblems)

典型示例

应用动态规划最有名的示例是二项式系数（binomial coefficient)的计算,二项式系数$\dbinom{n}{r}$表示在n个互不相等的元素中无顺序的挑选出r个元素的方法的总数。二项式系数具有如下递归式：

$$\dbinom{n}{r}=\dbinom{n-1}{r-1}+\dbinom{n-1}{r}$$
利用此递归式就可以编写出对给定的n和r返回 $\dbinom{n}{r}$结果值的函数bino(n,r)，如代码1-1所示：

//代码1-1
int bino(int n,int r){
//初始部分：n=r（选择完所有元素的情况）
//或r=0（没有可选元素的情况）
if(r==0||r==n)return 1;
return bino(n-1,r-1)+bino(n-1,r);

下图表示计算bino(4,2)过程中函数调用的流程。

值得注意的是，bino（2，1）将会被调用两次，因为计算bino(3,1)和bino(3,2)都需要先调用bino(2,1)。不仅如此，bino(1,0)和bino（1,1)也会调用两次。由此可见，有些子问题会被重复计算多次，并且，重复调用的次数会随着n和r的增大而呈几何级数增长。下表给出了计算bino(n,n/2)而调用的函数次数.

n	2	3	4	5	6	…	18	19	…	24	25
调用bino()的次数	3	5	11	19	39	…	97239	184755	…	5408311	10400599

那么有没有办法避开那些重复的计算呢？输入值n和r一定时，bino(n,r)的返回值也是一定的，利用该原理就可以去掉重复计算。
首先，定义一个缓存数组，查询有没有相应的结果值。如果有，就返回数组中的值，否则直接计算；计算结果先存储到数组中，然后再返回。这种“先定义保存函数结果值的空间，然后重复使用结果值”的优化方法称为制表（memorization）

    int cache[30][30];//初始化为-1
    int bino2(int n,int r){//我们用把经过优化的函数称为bino2
    //初始部分
    if(r==0||n==r)return 1;
    //如果不是-1，则说明这个值是之前已计算过的结果值，直接返回。
    if(cache[n][r]!=-1)
        return cache[n][r];
    //直接计算并保存到数组中。
    return cache[n][r]=bino2(n-1,r-1)+bino2(n-1,r);

去重后bino2()的调用的情况如下图：

适用制表方法的情况

有些函数的返回值只依赖于输入值，这种特性称为引用透明性（referential transparency)；而有的函数不具备这种特性，因为函数的执行不仅依赖于输入值，而且会受到全局变量、输入文件、类的成员变量等诸多因素的影响。当然，制表的方法只适用于具有引用透明性的函数。

实现制表的范式

范式，即模板。对于一个算法，掌握一种范式是非常好的习惯。不必要求每个人都必须按照下面的范式编写，只是有一种适合自己的固定格式。

//把所有的数组元素初始化为-1
int cache[2500][2500];
//a和b是[0,2500)区间的整数
//返回值总是int类型的非负整数
int someObscureFunction(int a,int b){
//先处理初始化部分
if(...)return...;
//已求解过（a,b),直接返回解过的值
int& ret=cache[a][b];
if(ret!=-1)return ret;
//在此求解
...
return ret;
}
int main(){
//利用memset()初始化cache数组
    memset(cache,255,sizeof(cache));
    //小技巧：用memeset函数想赋值-1的话，写255

分析制表的时间复杂度

分析这种”分治思想”的算法的复杂度有一个简单的公式：

（子问题的个数）x（解一个子问题时循环语句的执行次数）

利用上述公式计算bino2（）的时间复杂度：r的最大值是n,所以计算bino2(n,r)时能够分割的最大子问题个数是O($n^2$)（注意并不严格等于$n^2$）。求解子问题时，因为没有循环语句，所以时间复杂度为O(1),所以bino2()耗费的时间复杂度为O($n^2$)xO(1)=O($n^2$).