直方图均衡化算法原理与实现

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工作后，对原来学习的一些基本图像处理算法有了一些新的认识，比如Canny 算法，直方图均衡化算法等，今天就来说说直方图均衡化算法。

直方图均衡化原理

我们知道提高图像对比度的变换函数$f(x)$需要满足一下条件：

1. $f(x)$在$0<=x<=L-1$上单调递增(不要求严格单调递增),其中L表示灰度级（L=256）
2. $f(x)$的范围是$[0,L-1]$

我们知道当图像直方图完全均匀分布的时候，此时图像的熵是最大的（随机变量每个值的概率都相同时，概率最大），图像对比度是最大的。所以，理想情况下，图像经过变换函数$f(x)$变换后，直方图能够均匀分布，此时对比度是最大的。

那问题来了？怎样的变换函数具有如此神奇的功能呢？[1]P74中给出了答案。
在图像处理中，有一个重要的函数，能够满足上面的条件：

$$y=f(x)=(L-1)\int_0^xp_x(t){\rm d}t$$
英文原版中P145中的表述为：

其中 $p_x(x)$表示概率密度函数，在离散的图像中，表示直方图的每个灰度级的概率（在图像中，灰度级就可以看成是一个随机变量，而直方图就是该随机变量的概率密度函数），由概率论的知识，我们可以知道，变换函数 $f(x)$其实就是连续型随机变量x的分布函数，表示的是函数下方的面积。

分布函数的两个性质：1.单调不减 2.值域为[0,1]，我们可以知道f(x)满足条件1和2

有人可能会有这个疑问？图像是离散的，为什么可以用连续的来表示呢？从数学角度来看，离散是连续的一种特例（图像就是一个很好的例子）。

下面我们证明变换后的直方图是均匀的。
由概率论知识，变换后的概率密度：

$$p_y(y)=p_x(x)|(f^{-1}(y))^\prime|$$
由变上限函数求导法则可知 $$f(x)^\prime =(L-1)p_x(x)$$
反函数的导数等于原函数导数的倒数，所以
$$(f^{-1}(y))^\prime = {1 \over (L-1)p_x(x)}$$
所以
$$p_y(y)={1 \over L-1}$$

看到了吧，变换后的概率密度函数是一个均匀分布，对于图像来说，就是每个灰度级概率都是相等的，达到了我们的目的。
下面我们需要将这个变换函数转换为图像中的表达，图像中，我们可以知道，可以使用求和代替积分，差分代替微分，所以上述的变换函数就是：

$$y=f(x)=(L-1)\sum_0^{x_i}{h(x_i) \over w \times h}$$

其中$h(x_i)$表示直方图中每个灰度级像素的个数， $w$和 $h$分别表示图像的宽和高。

直方图均衡化算法实现

根据上面的推导，算法实现如下：

//不支持OpenCV的ROI
void GetHistogram(const Mat &image, int *histogram)
{
    memset(histogram, 0, 256 * sizeof(int));

    //计算直方图
    int pixelCount = image.cols*image.rows;
    uchar *imageData = image.data;
    for (int i = 0; i <= pixelCount - 1; ++i)
    {
        int gray = imageData[i];
        histogram[gray]++;
    }
}

void EqualizeHistogram(const Mat &srcImage, Mat &dstImage)
{
    CV_Assert(srcImage.type() == CV_8UC1);
    dstImage.create(srcImage.size(), srcImage.type());

    // 计算直方图
    int histogram[256];
    GetHistogram(srcImage, histogram);

    // 计算分布函数(也就是变换函数f(x))
    int numberOfPixel = srcImage.rows*srcImage.cols;
    int LUT[256];
    LUT[0] = 1.0*histogram[0] / numberOfPixel*255;
    int sum = histogram[0];
    for (int i = 1; i <= 255; ++i)
    {
        sum += histogram[i];

        LUT[i] = 1.0*sum / numberOfPixel * 255;
    }

    // 灰度变换
    uchar *dataOfSrc = srcImage.data;
    uchar *dataOfDst = dstImage.data;
    for (int i = 0; i <= numberOfPixel - 1; ++i)
        dataOfDst[i] = LUT[dataOfSrc[i]];
}

原图

测试结果：

从直方图均衡化算法中，可以看出，看似简单的几个算法步骤，背后蕴藏了很多数学理论知识，计算机视觉很多算法的背后都是强大的数学，这大概就是数学的魅力吧。

2016-9-3 10:41:39

参考文献

1. 《数字图像处理》第3版，冈萨雷斯

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