43.1~n整数中1出现的次数

题目描述：求出1~13的整数中1出现的次数,并算出100~1300的整数中1出现的次数？为此他特别数了一下1~13中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现6次,但是对于后面问题他就没辙了。ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数（从1 到 n 中1出现的次数）。

思路：遍历？每一个都算一下？暴力拆解！

public class Solution {
    public int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) {
        if(n<1){
            return 0;
        }
        int sum=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            sum+=get1num(i);
        }
        return sum;
    }
    public static int get1num(int n){
        String str=String.valueOf(n);
        char[] chars=str.toCharArray();
        int num=0;
        for(int i=0;i<chars.length;i++){
            if(chars[i]=='1'){
                num++;
            }
            continue;
        }
        return num;
    }
}

寻找新解法：从数字规律着手明显提高时间效率

设N=abcde，其中abcde分别为十进制中各位上的数字。

如果要计算百位上1出现的次数，它要受到三方面的影响：百位上的数字，百位以下的数字，百位以上的数字。

如果百位上为0，比如12063，百位上可能出现1的次数由更高位决定，100-199，1100-1199，2100-2199，……11100-11199，一共1200个。由更高的数字决定，等于高位数字乘以当前位数（100）；
如果百位上为1，比如12163，百位上可能出现1的次数不仅受高位影响，还受低位影响，100-199，1100-1199，2100-2199，……11100-11199，12100-12163，高位数字乘以百位+低位数字+1；
如果百位上大于1（2-9），则百位上出现1的情况仅由高位决定，12263，100-199，1100-1199，2100-2199，……11100-11199，12100-12199，一共1300个，（高位数字+1）*100。

当前位i的范围-1,10,100,...

比如12063当前位100，高位12063/（100*10）；低位12063%100；当前位数字（12063/100）%10。

高位：n/(i*10)；低位：n%i；当前位数字：(n/i)%10

public class Solution {
    public int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) {
        int count=0;
        int i=1; //当前位，从个位开始算
        int current=0;
        int after=0;  //低位
        int before=0; //高位
        while((n/i)!=0){
            current=(n/i)%10;
            before=n/(i*10);
            after=n%i;
            if(current==0){
                count+=before*i;
            }else if(current==1){
                count+=before*i+after+1;
            }else{
                count+=(before+1)*i;
            }
            i=i*10;
        }
        return count;
    }
}

10.斐波那契数列

题目一：斐波那契数列

题目描述：大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项（从0开始，第0项为0）。

n<=39。

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思路：f(n)=0 n=0;

f(n)=1 n=1;

f(n)=f(n-1)+f(n-2) n>1

public class Solution {
    public int Fibonacci(int n) {
        if(n==0){
            return 0;
        }
        if(n==1){
            return 1;
        }
        return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2);

    }
}

题目二：青蛙跳台阶问题

题目描述：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）。

思路：如果只有一级台阶的话，那么只有一种跳法;如果是两级台阶，那么既可以一级一级跳，也可以一下跳两级。接下来我们来讨论如果是n级台阶，如果第一步跳一级，那么跳法就是剩下的n-1级跳法数目，如果第一步跳两级，那么跳法数目就是剩下的n-2级跳法数目。

public class Solution {
    public int JumpFloor(int target) {
        if(target==0){
            return 0;
        }
        if(target==1){
            return 1;
        }
        if(target==2){
            return 2;
        }
        return JumpFloor(target-1)+JumpFloor(target-2);

    }
}

题目三：变态跳台阶

题目描述：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

思路：

f(1)=1

f(2)=f(2-1)+f(2-2)

f(3)=f(3-1)+f(3-2)+f(3-3)

.....

f(n)=f(n-1)+f(n-2)+...+f(n-n)

等于n的时候，有n种跳法，1级，2级...n级

f(n)=f(n-1)+f(n-2)+...+f(n-n)=f(0)+f(1)+f(2)+...+f(n-1)

f(n-1)=f(0)+f(1)+f(2)+...+f(n-2)

所以，f(n)=2*f(n-1)

即f(n)=1 (n=0)

f(n)=1 (n=1)

f(n)=2*f(n-1) (n>=2)

public class Solution {
    public int JumpFloorII(int target) {
        if(target<=0){
            return 1;
        }else if(target==1){
            return 1;
        }
        return 2*JumpFloorII(target-1);
        
    }
}

牛客剑指offer

1.矩形覆盖

题目描述：我们可以用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？

思路：斐波那契数列。

public class Solution {
    public int RectCover(int target) {
        if(target==0){
            return 0;
        }else if(target==1){
            return 1;
        }else if(target==2){
            return 2;
        }else{
            return RectCover(target-1)+RectCover(target-2);
        }
    }
}

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